Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
aP CtP
Исключение для случая B^ — д ^ происходит благодаря тому, что изменение dga? дает добавочный эффект, меняя операции поднимания и опускании значков.
Выражение для dg можно получить, вряв дифференциал от каждой компоненты тензора д и умножив ее на свой коэффициент У . gY-'1 в детерминанте.
Таким образом,
-9Ж (35.3)
Сокращенные трехзначковые скобки будут иметь вид
, і lOexId9*.Ud9^
lv-ъ = Iax -H ~~d^j ~ 2 9 дх„ '
Y-
Остальные два члена сократились при перемене местами немых Значков а и X. Применяя (35.3) к последнему выражению, получим
<35-4>
Hr Iх
Мы ввели здесь у —д, так как д всегда отрицательно для координат, применяющихся в нашнх исследованиях.
Нужно еще обратить внимание на возможную ошибку, которая встречается при дифференцировании суммированных выражений. Так например, результатом дифференцирования величины aпо ж, будет не а^х^, но выражение + ж_. Меггод
выполнения таких дифференцирований может быть иллюстрирован следующим примером. Пусть
h _ = а а XX,
-.- U-V С”С Ц. Qt
136
Тензорное исчисление
где а —постоянные коэффициенты. Тогда
Повторяя процесс, будем иметь
d2h,t_
Отсюда, меняя значки, получим
(1 а
Точно также, еслн выражение At симметрично по отношению к своим значкам, то
Причиной ошибок может явиться трехкратное повторение значка в одном и том же члене. Ho в этих формулах суммирование относится к повторению значков внутри скобок, HO не к образованию производных.
Резюме. Тензоры суть величины, преобразуемые по определенным законам. Их значение и удобство применения заключается в том, что всякое тензорное уравнение, справедливое для какой-нибудь одной системы координат, остается верным для всякой другой системы координат. Новые тензоры возникают или при непосредственном рассмотрении правил, согласно которым они преобразуются, или на основании того свойства, что сумма, разность, произведение илн частное двух тензоров есть также тензор. В этом заключается обобщение метода размерностей, применяемого в физике.
Основными действиями тензорного исчисления являются: сложение, умножение (внешнее нли внутреннее), суммирование (п. 22), сокращение (п. 24), подстановка (п. 25), поднимание и опускание значков (п. 26) и коварнантное дифференцирование (пп. 29, 30). Действия, соответствующего делению, нет; представляющие иногда неудобства множители д нли д^‘ могут быть устранены умножением на д^ или д , причем получается опе-
(35.6)
35. Резюме
137
ратор подстановки. Операция суммирования находится практически вне нашего контроля и всегда предстает перед нами как fait accompli [совершившийся факт].
Наиболее характерный прием тензорного исчисления состоит в свободной замене немых значков (т. е. тех, которые встречаются два раза в одном и том же члене), этот процесс вероятно представляет наибольшие трудности для начинающего.
Специального внимания заслуживают фундаментальные или мировые тензоры. Мы обнаружили два таких тензора, а именно: и В . Последний тензор был выражен при помощи пред-идущего и через его первые и вторые производные. Благодаря Этим тензорам будет переброшен мост над пропастью, зияющей между чистой геометрией и физикой; в частности, д связывает наблюдаемую величину ds с имеющими лишь математический смысл координатами dx .
Так как в данной книге мы обычно имеем дело с теизо рами, то читатель может не оценить всего своеобразия этого рода величин. Своего рода жонглирование, к которому мы как будто прибегаем при различных преобразованиях, возможно только вследствие того, что рассматриваемые величины имеют совершенно исключительный характер.
Дальнейшее развитие тензорного исчисления будет продолжено в п. 48. Ho уже сейчас мы достигли той ступени в наших Знаниях, на которой мы можем начать излагать теорию тяготения.
Глава III.
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ.
36, ПЛОСКОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ. ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ.
Область мнра называется плоской или юмалоидальней, если в ней возможно построить галилееву систему координат.
В п. 4 было показано, что при постоянных g величина ds может быть представлена в виде суммы квадратов четырех величин, т. е. может быть введена галилеева координатная система. Таким образом, иначе, данное пространство-время называется плоским, если для него можно найти такие координаты, при которых компоненты фундаментального тензора g были бы постоянными величинами.
Если g постоянны, то все трехзначковые символы равны нулю; так как однако эти трехзначковые символы не образуют тензора, то, вообще говоря, они не будут оставаться равными нулю при введении других координат для той же самой плоской области. Кроме того, если g постоянны, то тензор Риманна— Кристоффеля, образованный из произведений трехзначковых скобок и их производных, также будет равен нулю; как тензор он будет оставаться нулем и при введении какой-либо нной координатной системы для той же области.
Следовательно, равенство нулю тензора Риманна—Кристоффеля представляет собой необходимое условие для наличия плоского пространства-времени.
