Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ar aJ-A- Оа> “} 4) = 0,
<3 M
НЛИ
( д д \ дАа дА
А« [д^ {^ а> - W ^3’ J + <^ а> Tx—{[ха’ дх = 0 •
\ 3 і / 5
дА% дЛа
Подставляя сюда значения и из формулы (34.7), по-лучим
АІ jL{|j.v,Gt} — ~ {|10, аЛ + ({|«,а} {cca, є} — {jw, a} {av, s}) ^==0.
\ OXg v J
После замены в первом члене немого значка а на є, условие примет вид:
A Bz =0.
Є [AOV
Следовательно, если тензор Bz^ai = 0, то дифференциал dA^, определяемый из (34.7), будет полным дифференциалом, и интеграл
Ч-
взятый между любыми двумя точками, не будет зависеть от пути интегрирования. Вектор. может быть затем перенесен при помощи параллельного переноса в любую точку. При этом получится однозначный результат, не зависящий от пути переноса. Если вектор будет перемещаться таким способом по всему полю, мы получим однородное векторное поле.
Эта конструкция однородного векторного поля возможна только в том случае, если тензор Риманна—Кристоффеля исчезает в каждой точке поля. В остальных случаях уравнения не имеют полных интегралов и могут быть проинтегрированы только вдоль некоторых особых путей. Например, всем точкам плоскости можно приписать
*) Формулировку и анализ условий интегрируемости для дифференциальных уравнений в полных производных — к чему сводятся обсуждаемые в тексте вопросы — читатель может найти в любом серьезном курсе анализа. Кроме того, здесь можно еще сослаться на изложение вопроса в книге Н. Weyl'я, Mathematieche AnalysedesRaumproblema, стр.66 — 68, Berlin, 1923.
т.
/•
34. Теизор Римаина—Кристоффеля
133
однородное направление, но уже в случае сферической поверхности нет чего-либо аналогичного такому направлению на плоскости.
Формулы, подобные (34.3), могут быть также получены н для вторых производных тензора А , как и для вектора A^m
Легко можио найти, что
А —А = YBs А , (34.8)
... {X .. .VS . . . JJL ... 3V JJ.V3 ... Э ... ? ^ 1
где суммирование производится по всем значкам [х первоначаль-ного тензора *).
*) Таким образом, знак суммы в уравнении (34.8) справа распространяется на столько слагаемых, сколько значков имеет тензор А _ _ _ ;
таким образом, каждый значок соответствует слагаемому, не говоря о том, что каждое слагаемое в отдельности представляет всю сумму по є. Мы укажем здесь подробнее на ход вычислений, приводящий к уравнению (34.8). Инеем
(ЭЛ л
И ..X...,...к = а} л...
а
где а под знаком суммы обозначает, что сумма берется по всем значка» А х а. • Продифференцируем этот ковариантный тензор по х3, затем разложим обыкновенную производную по хя и отделим дополнительные члены, соответствующие значку ч, тогда получим
о^А ^ д
w..д...,*...0,=—~2Л-.{|"v,a} ~
Л...Х. ...... Л-. -
Ij-
а. .>.... ,Х...Т- (а;
При этом предпоследняя сумма должна пониматься таким образом, что значок X или P пробегает через есе положения значков первоначального тензора А х _ , исключая место занятого ч. Рассмотрим теперь
более подробно эту сумму, в которой мы заменим А х .. на приведенное выше выражение. Ho при этом нужно принять во внимание следующее: в дополнительных членах, содержащих a . х. ^ .. > можно, вообще говоря, непосредственно заменить во втором множиіеле X на р. Ho в то же самое время совершенно очевидно, что для одною из дополнительных членов этого сделать нельзя, именно для того из них, в котором на шесте X стоит значок а, по которому производится суммирование; таким образом, бегущий значок X = ц стоит на первом месте в трехзначковых
Ш
t епзорпое исчисление
Соответствующие формулы для контравариантных тензоров могут быть получены без всякого труда, если принять во внимание, что тензор ведет себя при ковариантном дифференцировании как постоянная величина и что значки могут быть подняты у обеих частей равенства (34.8).
35. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ.
Нам понадобится для дальнейшего изложения еще ряд формул. Так как
= 0 или 1I
то
/“• dv + ^‘^ = 0-
Следовательно,
= — dg13 (35.11)
символах и должен заменяться там на значок р. Если мы выделим соответствующие члены, то получим
2<ь-?> -
X Xv
—22 ^Ха> ^ л •••(*••." • • • ~ 2 ^ А ^
X p. X
где в предпоследнем члене X, [j, или р соответствуют различным положениям значков, а в последнем члене у тензора A a явно отмечен только один значок.
Если мы вставим теперь полученное выражение в (о), заменим ч на a и образуем разность, то, во-первых, в (а) исчезнут первый и последний член, во-вторых, сумма третьего члена («) и первого члена в (Ь) и, наконец* второй член в (Ь).
Таким образом, получим
А..,А ..л...т, = ~2Л •••« ¦• +
и-
+ 2 А + ^ л •••*••• ~
И-
-2 р> <pff- а>л........ =2л.
в соответствии с (34.8). При этом у тензора А а , стоящего справа, г#ьт отмечаем явно только один значок.
(в.)
35. Различные формулы 135
Точно также
<35Л2)
Умножая это на A^, получим по правилу для опускания значков:
— = (35.2)
Для любого нефундаментального тензора на основании равенства (26.3) соответствующей формулой будет
A^dB = A dBaK
