Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эддингтон А.С. -> "Теория относительности" -> 44

Теория относительности - Эддингтон А.С.

Эддингтон А.С. Теория относительности — М.: ОНТИ, 1934. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1934.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 176 >> Следующая


д {dXy\ dx

аг — )+{«*, і*} ^=0.

*) Читатель должен при этом помнить, что операция параллельного переноса переместима с операцией поднимания или опускания значка, так что если два тензора сопряжены друг с другом, то это соотношение не нарушается при параллельном переносе. Действительно тензоры j , 5*1'1, j’, ка^ мы рто вкдели, ведут себя при ковариаіітном дифференцировании как постоянные множители.

(Я.)
34. Тензор Риманна—Кристоффеля

129

dx

Умножая это выражение на — получим

(Px dx dx

т. е. уравнение геодезической линии (28.5). Итак, если говорить языком, применявшимся в начале этого параграфа, то геодезическую линию можно определить как четырехмериую кривую, направление которой не претерпевает никакого абсолютного изменения.

34. ТЕНЗОР РИМАННА—КРИСТОФФЕЛЯ.

Вторую ковариантную производную от можно найти, подставляя в формулу (30.3) значение тензора А из уравнения (29.3), т. е.

д (дА \ (дА^

= U Ur-!1"' “I Al-Ii*0. «) (s-К *К

(дА

— К «Мхг-^, е! А

а

(/2A дА дА дА

= dTk0| ЭГ-|!*0’ ») ^r+

а * <з V а

4- {vo, а} {[і«, є} Ле+{«ха, а} {av, е} Ae — Aa — {[*v, а}. (34.1)

а

Первые пять членов ие изменятся, если переменить местами значки VHO. Меияя в последнем члене немой значок а на є, можно переписать последние два члена следующим образом:

At ({[із, a} (KV1S)--Jr {fJ-v, є;

дх, откуда

= Аш {“V> Єї~ S) — {^> aHa°> Є) +

+ (34-^ На основании строгой теоремы частного заключаем, что сомножитель вектора Ae должен быть тензором.

Теория относительности. 9
130 Тензорное исчисление

Следовательно,

A-A=Aff, (34 3)

{tv? jxov є jxva > ' ^ • и)

где

eU-If10» aI {av’ ~ {^’ “) {“б> s'1 + ^ 3J

д I I

(34.4)

Это выражение называется тензором Риманна—Кристоффеля. Порядок ковариантеого дифференцирования можно изменять согласно (34.3) только в том случае, если этот тензор равен нулю.

Опуская значок е, получим

В = g B1 =

[XVIO & рв JfcVI

= fro, а) И, р] — {fiv, «} [ao, p] -f ~fjxo, p] — — [jiv, p] —

V I

~i!A3’ a} + Ъх’ (34.45)

V a

причем в последних двух членах значок є был заменен через «• На основании формул (27.5) и (27.1) окончательно будем иметь

= — fr®» “} [PV> {^> [р®’ “] +

I / а2а д^а <?2а д2а \

J_________IPL- _|_____Iifi!_________________lfl. ) (М 54

1 2 \дх дх ' дх dx дх дх дх дх J ^ ‘

'[XV pa pv IX I /

Из выражения (34.5) видео, что тензор 5 , будучи антисимметричным по отношению к значкам v и о, также антисимме-

тричен и по отношению к [і и о *). Таким образом, он симметричен по отношению к двойной перестановке [J. и V, р и о.

Наконец, этот тензор обладает следующим циклическим свойством:

В 4-В 4-В =0, (34.6)

[xvip I !X“pv I ^

что легко доказать при помощи формулы (34.5).

*) Обратим внимание на то, что оба первые члена (34.5) можно написать в виде

— [р®. р] Ipv, “] + р] [р®, aJ1.

откуда сразу ясны различные свойства симметрии.

Ш
34. Тензор Риманна—Кристоффеля

131

В общем случае тензор четвертого ранга имеет 256 различных компонент. В данном случае, благодаря двойной антисимметричности, нх число (если отвлечься от знака) снижается до

6 • 6 = 36; 30 из них попарно равны, так как |іир можно менять местами cvna, но оставшиеся 6 компонент, в которых ^ и р являются такой же самой парой чисел, как и v н а, все отличаются друг от друга. Итак, остается 21 различных компонент, для которых выражение (34.6) дает еще только одно соотношение. Таким образом, тензор Риманна—Кристоффеля имеет всего 20 независимых компонент *).

Тензор Риманна—Кристоффеля зависит исключительно от д и их производных, и принадлежит поэтому к классу фундаментальных тензоров. Обычно из любого тензора прн помощи коварианг-ного дифференцирования можно получить ряды тензоров непрерывно увеличивающихся рангов. Ho к фундаментальным тензорам Этот процесс неприменим, так как выражение д равно нулю тождественно. Нам удалось обойти эту трудность—получить фундаментальный тензор четвертого ранга. Теперь прн помощи кова-риантного дифференцирования ряд можно продолжать бесконечно.

Если тензор Риманна—Кристоффеля равен нулю, то дифференциальные уравнения

дА

= 0 <34-7)

V

интегрируемы. В самом деле, интегрирование будет возможно только в том случае, если на основании (34.7) выражения dA дА

или 1* d,X' обращаются в полный дифференциал, т. е. если

’) Если значки писать в порядке (j-piv, то следующая схема даст число различных компонент, равное 21:

1212 1223 1313 1324 1423 2323 2424

1213 1224 3314 1334 1424 2324 2434

1214 1234 1323 1414 1434 2334 3434

причем 1234 — 1324 -f 1423 = 0.

Если опустить члены, содержащие значок 4, то останется 6 компонент в трехмерном пространстве. Прн двух измерениях остается только одна компонента 1212. Доказательство того, что в четырехмерном случае действительно существует 20 независимых компонент тензора Риманна—Кристоффеля см. в п. 36.

9*
132

Тензорное исчисление

{[J.V,«} Aadx есть полный дифференциал. На основании обшей теории, необходимым и достаточным условием *) для этого будет выполнение уравнения
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed