Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
д {dXy\ dx
аг — )+{«*, і*} ^=0.
*) Читатель должен при этом помнить, что операция параллельного переноса переместима с операцией поднимания или опускания значка, так что если два тензора сопряжены друг с другом, то это соотношение не нарушается при параллельном переносе. Действительно тензоры j , 5*1'1, j’, ка^ мы рто вкдели, ведут себя при ковариаіітном дифференцировании как постоянные множители.
(Я.)
34. Тензор Риманна—Кристоффеля
129
dx
Умножая это выражение на — получим
(Px dx dx
т. е. уравнение геодезической линии (28.5). Итак, если говорить языком, применявшимся в начале этого параграфа, то геодезическую линию можно определить как четырехмериую кривую, направление которой не претерпевает никакого абсолютного изменения.
34. ТЕНЗОР РИМАННА—КРИСТОФФЕЛЯ.
Вторую ковариантную производную от можно найти, подставляя в формулу (30.3) значение тензора А из уравнения (29.3), т. е.
д (дА \ (дА^
= U Ur-!1"' “I Al-Ii*0. «) (s-К *К
(дА
— К «Мхг-^, е! А
а
(/2A дА дА дА
= dTk0| ЭГ-|!*0’ ») ^r+
а * <з V а
4- {vo, а} {[і«, є} Ле+{«ха, а} {av, е} Ae — Aa — {[*v, а}. (34.1)
а
Первые пять членов ие изменятся, если переменить местами значки VHO. Меияя в последнем члене немой значок а на є, можно переписать последние два члена следующим образом:
At ({[із, a} (KV1S)--Jr {fJ-v, є;
дх, откуда
= Аш {“V> Єї~ S) — {^> aHa°> Є) +
+ (34-^ На основании строгой теоремы частного заключаем, что сомножитель вектора Ae должен быть тензором.
Теория относительности. 9
130 Тензорное исчисление
Следовательно,
A-A=Aff, (34 3)
{tv? jxov є jxva > ' ^ • и)
где
eU-If10» aI {av’ ~ {^’ “) {“б> s'1 + ^ 3J
д I I
(34.4)
Это выражение называется тензором Риманна—Кристоффеля. Порядок ковариантеого дифференцирования можно изменять согласно (34.3) только в том случае, если этот тензор равен нулю.
Опуская значок е, получим
В = g B1 =
[XVIO & рв JfcVI
= fro, а) И, р] — {fiv, «} [ao, p] -f ~fjxo, p] — — [jiv, p] —
V I
~i!A3’ a} + Ъх’ (34.45)
V a
причем в последних двух членах значок є был заменен через «• На основании формул (27.5) и (27.1) окончательно будем иметь
= — fr®» “} [PV> {^> [р®’ “] +
I / а2а д^а <?2а д2а \
J_________IPL- _|_____Iifi!_________________lfl. ) (М 54
1 2 \дх дх ' дх dx дх дх дх дх J ^ ‘
'[XV pa pv IX I /
Из выражения (34.5) видео, что тензор 5 , будучи антисимметричным по отношению к значкам v и о, также антисимме-
тричен и по отношению к [і и о *). Таким образом, он симметричен по отношению к двойной перестановке [J. и V, р и о.
Наконец, этот тензор обладает следующим циклическим свойством:
В 4-В 4-В =0, (34.6)
[xvip I !X“pv I ^
что легко доказать при помощи формулы (34.5).
*) Обратим внимание на то, что оба первые члена (34.5) можно написать в виде
— [р®. р] Ipv, “] + р] [р®, aJ1.
откуда сразу ясны различные свойства симметрии.
Ш
34. Тензор Риманна—Кристоффеля
131
В общем случае тензор четвертого ранга имеет 256 различных компонент. В данном случае, благодаря двойной антисимметричности, нх число (если отвлечься от знака) снижается до
6 • 6 = 36; 30 из них попарно равны, так как |іир можно менять местами cvna, но оставшиеся 6 компонент, в которых ^ и р являются такой же самой парой чисел, как и v н а, все отличаются друг от друга. Итак, остается 21 различных компонент, для которых выражение (34.6) дает еще только одно соотношение. Таким образом, тензор Риманна—Кристоффеля имеет всего 20 независимых компонент *).
Тензор Риманна—Кристоффеля зависит исключительно от д и их производных, и принадлежит поэтому к классу фундаментальных тензоров. Обычно из любого тензора прн помощи коварианг-ного дифференцирования можно получить ряды тензоров непрерывно увеличивающихся рангов. Ho к фундаментальным тензорам Этот процесс неприменим, так как выражение д равно нулю тождественно. Нам удалось обойти эту трудность—получить фундаментальный тензор четвертого ранга. Теперь прн помощи кова-риантного дифференцирования ряд можно продолжать бесконечно.
Если тензор Риманна—Кристоффеля равен нулю, то дифференциальные уравнения
дА
= 0 <34-7)
V
интегрируемы. В самом деле, интегрирование будет возможно только в том случае, если на основании (34.7) выражения dA дА
или 1* d,X' обращаются в полный дифференциал, т. е. если
’) Если значки писать в порядке (j-piv, то следующая схема даст число различных компонент, равное 21:
1212 1223 1313 1324 1423 2323 2424
1213 1224 3314 1334 1424 2324 2434
1214 1234 1323 1414 1434 2334 3434
причем 1234 — 1324 -f 1423 = 0.
Если опустить члены, содержащие значок 4, то останется 6 компонент в трехмерном пространстве. Прн двух измерениях остается только одна компонента 1212. Доказательство того, что в четырехмерном случае действительно существует 20 независимых компонент тензора Риманна—Кристоффеля см. в п. 36.
9*
132
Тензорное исчисление
{[J.V,«} Aadx есть полный дифференциал. На основании обшей теории, необходимым и достаточным условием *) для этого будет выполнение уравнения