Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
движения В отличие ОТ обычной скорости изменения • Ho
теперь, в более общем случае неэвклидова пространства, после того как нами уже обнаружена указанная связь, лучше не пользоваться этим термином.
Следуя Леви-Чивита и Вейлю, мы будем пользоваться термином параллельное перемещение (или параллельный перенос), под которым будет пониматься то, что до сих пор нами называлось перемещением без «абсолютного изменения». Условие для параллельного перемещения заключается в равенстве нулю ковариант-ной производной*).
IA = (А —A )dx dx ,
У- V [Х'л \X3't‘ V G '
*) Леви-Чивита определяет параллельное перемещение вектора в риман-новом пространстве, рассматривая последнее как расположенное в эвклидовом пространстве большего числа измерений.
Простейшим случаем будет тот, когда мы имеем кривую поверхность в обыкновенном пространстве. Контравариантный вектор на поверхности можно представить в виде малого перемещения на поверхности, умноженного на какой-нибудь скаляр. Этому соответствует геометрическое изобра-
33. Смысл ковариантного дифференцирования
127
или
ч=4//(a^--A,Jdsw> C33-3)
причем соглашение, введенное о суммировании, вновь получает силу. Результат доказан нами только для бесконечно малого контура, ограничивающего собой координатную ячейку, для которой выражение (ISw имеет только две неравные нулю компоненты dx dx и—dx dx . Ho данное уравнение, как мы видим, является
\f д '4 о
тензорным уравнением, а поэтому справедливо для любой системы координат. Следовательно, его можно применять к замкнутым контурам любой формы, так как всегда можно выбрать координаты так, чтобы взятый контур оказался границей координатной ячейки. Ho равенство (33.3) и в этом случае пок& ограничено в своем применении только бесконечно малыми контурами. Распространить его на контуры конечных размеров нельзя никаким
жение того же вектора в виде касательного векторд л поверхности. Если мы будем рассматривать касательную плоскость как твердое тело, то ее можно перемещать так, чтобы точка касания описывала данную линию яа поверхности, вращая плоскость в то же время вокруг некоторой оси.
Легко видеть, что скорость вращения всегда может быть разложена на две составляющие: одна из них направлена по касательной к поверхности, сопряженной с направлением движения точки касания (т. е. по линии пересечения двух бесконечно близких последовательных положений касательной плоскости), другая направлена по нормали. Касательные векторы считаются перемещающимися вдоль линии параллельно, если касательная плоскость вращается только вокруг сопряженной касательной, т. е. если нормальная составляющая мгновенной угловой скорости равна нулю. Это определение весьма естественно, так как для наблюдателя, перемещающегося по кривой поверхности и не замечающего ее кривизны, отклонением от параллельного перемещения будет казаться только вращение вокруг оси своего тела, т. е. около нормали к поверхности. Бесконечно малое перемещение конца касательного вектора равно сумме поступательного перемещения, равного перемещению его начала п вращательного перемещения вокруг оси, лежащей в касательной плоскости. Поэтому бесконечно малое изменение самого вектора, равное разности перемещений конца и начала, перпендикулярно к каеательной плоскости, так как оно равно вращательному перемещению вокруг оси, лежащей в этой плоскости. Если выразить условие перпендикулярности дифференциала вектора к касательной плоскости через составляющие соответствующего контра вариантного вектора на поверхности, то и получим уравнения параллельного перемещения, приведенные в тексте. (Р.)
128
Тензорное исчисление
способом, в отличие от теоремы Стокса. Причина этого ограничения заключается в следующем. Пусть в начальной точке взят некоторый изолированный вектор, который при параллельном перемещении вдоль контура получит определенное приращение В равенстве (33.3) это выражено через производные векторною поля А , простирающегося по всей области интегрирования. Для контура, имеющего большие размеры, мы должны были бы учесть Значения A i лежащие далеко от начального вектора и, очевидно, не играющие роли при вычислении Замечательно, что подобная формула существует хотя бы и для бесконечно малого контура; дело заключается в том, что хотя выражение Aв данной точке формально относится ко всему векторному полю, ка самом деле оно оказывается зависящим только от изолированного вектора A^ [см. уравнение (34.3)].
dx
Контравариантный вектор определяет направление в четырехмерном мире и интерпретируется как скорость с обычной точки зрения, разделяющей пространство и время. Эт(>т вектор мы будем также называть «скоростью»; его связь с обычным трехмерным вектором (и, ®, w) дается равенством
-tfj1 = P («> е» ®. !) *)»
где P есть множитель Фицджеральда, т. е. «Длина» (см. формулу 26.5) скорости всегда равна единице. Если мы будем переча;
мещать величину параллельно вдоль определяемого ею направления, то получим геодезическую линию. В самом деле, на основании равенства (29.4) условию для параллельного перемещения можно придать следующий вид:
