Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
^1-¦<B3fe8 + ®2ft3 И Т- Л- (ЗЗЛ)
Количество движения может быть постоянным даже В ТОМ случае, если производные по времени от его компонент во вращающихся осях не равны нулю.
Следовательно, мы должны признать, что изменение физической величины рассматривается вообще как нечто отличное от изменения математических компонент, на которые эта величина разложена. В элементарной теории определение изменения физической величины получается путем отождествления его с изменением компонент в прямоугольной системе координат, движущейся
124
Тензорное исчисление
без ускорения; HO ЭТОТ способ ее может иметь применения в общем случае, так как может оказаться, что для данного пространства-времени такие координаты вообще не существуют. Можно ли все же сохранить это понятие физической скорости изменения и в общем случае?
Наше внимание направлено на скорость изменения физических величин в виду их значения для законов физики. Так, например, сила есть скорость изменения во времени количества движения, или скорость изменения потенциала в пространстве. Поэтому скорость изменения должна выражаться каким-то тензором, для того чтобы оиа могла входить в общие физические Законы. Кроме того, для согласия с обычными определениями в элементарных случаях требуют, чтобы этот тензор в случае галилеевых координат сводился к скорости изменения прямоугольных компонент. Оба условия выполняются, если определить физическую скорость изменения тензора при помощи его ковариантной производной.
дА
Ковариантная производная А ч состоит из члена дающего
U CC
V
обычный градиент, из которого вычитается «поправочное изме-нение» jjxv, aj Aa, которое можно приписать криволпнейносты координатной системы. При применении декартовых координат (прямоугольных или косоугольных) трехзначковые скобки равны нулю, так что здесь, как и следовало ожидать, поправочный член отсутствует. Назовем тензор .4 скоростью абсолютною изменения вектора А .
Рассмотрим на плоскости х ^ х^ элементарную ячейку, угловыми точками которой будут:
^(aV aO* -6OkV + dxP xJi С(.х, + «Ч, + <Ч), 1)(хч, Xi J- dx).
Вычислим теперь полное абсолютное изменение векторного поля А при обходе вокруг контура ABCDA.
1) От А до В абсолютпое изменение, вычисленное для точки х
' ' <31
равно A dx^*).
*) Нам пока придется отбросить условие, введенное при суммировании, так как dx,t и dx3 представляют собой ребра отдельной ячейки. На основании условия мы получили бы и здесь правильный результат, но последний получился бы слишком быстро, что для нас сейчас является нежелательным.
33. Смысл ковариантного дифференцирования
:/25-
2) От В до С абсолютное изменение, вычисленное для точки rv —j— равно А
ах .
JXU о
3) От С до D абсолютное изменение, вычисленное для точки XajTdx') равно — A^dx^.
4) От D до А абсолютное изменение, вычисленное для точки х равно — A^ (,ха.
Комбинируя (2) и (4), получим окончательный результат, равный разности изменений A dxa в точках —}-dx4 и жч. Имеется некоторое искушение приравнять эту разность следующему выражению:
-S- (A dx ) dx . дх v
V
Ho как уже было разъяснено, это дало бы только разность, математических компонент, а не «абсолютную разность». Вместо этого нужно взять ковариантную производную, причем получи» [благодаря тому, что dxa имеет одно и то же значение как для (2)f так и для (4)]
A dx dx .
[J.3V О M
Точно также из (3) и (1) будем иметь
— A dx dx ,
[AVff V <3>
так что полное абсолютное изменение вдоль взятого контура будет равно
(33-2>
Естественно ожидать, что при возвращении к нашей исходной точке абсолютное изменение обратится в нуль. Каким образом может произойти в итоге какое-либо абсолютное изменение, если теперь мы получили тот же самый вектор А , из которого мы исходили в самом начале? Несмотря иа это, вообще говоря, А фА , т. е. результат ковариантного дифференцирования зависит от того порядка, в котором оно совершается, и. выражение (33.2) не равно нулю.
Что этот результат действительно имеет смысл, можно обиа* ружить при рассмотрении двумерного пространства, например, поверхности океана. В самом деле, если нос корабля все время направляется по кильватерной линии, то его путь будет представлять собой окружность большого круга. Теперь пред.-
Тензорное исчисление
положим, что корабль движется по некоторому замкнутому пути таким образом, что его положение и курс, т. е. направление движения, в конце движения оказываются такими же, как и в начале. Если учесть все следующие друг за другом изменения курса и сложить все получившиеся при этом углы, то результат не будет равен нулю (или 2~).
В случае движения по треугольнику получится хорошо известный асферический избыток». Точно также не будет равно нулю и полное изменение скорости. В данном примере мы имеем иллюстрацию того факта, что вектор при возвращении в свое исходное положение не всегда принимает первоначальное значение, т. е. что его полное абсолютное изменение не равно нулю.
Полученный результат может показаться до некоторой степени противоречивым. Эго происходит из-за попытки применить к обсуждаемому нами вопросу термин «абсолютное изменение». Термин в некотором отношении нагляден, так как он связывает ковариантное дифференцирование с понятиями элементарной физики. Например, едва ли кто-нибудь поколеблется назвать выражение (33.1) абсолютной скоростью изменения количества
