Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
*) Удваивание первоначального выражения отмечается наличием міґо-
1
жителя — в большинстве формул, содержащих dS'1'.
82. Элементы поверхности и теорема Стокса
121
Элемент поверхности всегда есть тензор второго ранга независимо от числа измерений пространства: но в трех измерениях площадь поверхности можно изображать также простым вектором, перпендикулярным к поверхности, с длиной, пропорциональной площади. Действительно, в трех измерениях принято всякий антисимметричный тензор изображать соответственным вектором. К счастью, в четырех измерениях наличие этого источника недоразумений невозможно.
Инвариант
1 А dS
2
называется потоком тензора A^i сквозь элемент поверхности. Поток зависит только от антисимметричной части тензора А , так как внутреннее произведение симметричного и антисимметричного тензоров, очевидно, равно нулю.
Некоторые из важнейших антисимметричных тензоров возникают в результате операции вихря.
Если величина Jfiv представляет собой ковариантную производную от К , то на основании (29.3) находим, что
дК дК
K-K —-4, (32.2)
^ дх дх ’ V /
V (1.
так как трехзначковые символы равны нулю. Так как правая сторона равенства представляет собою тензор, то и левад его часть также является тензором.
Правая сторона равенства (32.2) имеет такой же вид, как и «вихрь» в элементарном векторном исчислении, с той лишь разницей, что здесь знак изменен на обратный. Однако, если говорить точнее, то необходимо заметить, что вихрь в элементарной трехмерной теории есть вектор, в то время как наш вихрь является тензором; таким образом, сравнение соответственных знаков не имеет смысла.
Заключение, что ковариантный вихрь имеет формально такое же значение, как и обычный вихрь, неприменимо к контРа-вариантным векторам или тензорам высших рангов, ибо
Ar(V- дК4
VrV- Ir' -L-
ЯЛ. — Л. ¦¦/ . - -ч " ,
v S1 дж дх
/22
Тензорное исчисление
В тензорном обозначении знаменитая теорема Стокса принимает следующий вид:
' M-if/S-Sy. «
где двойной интеграл берется по какой-либо поверхности, ограниченной контуром интегрирования однократного интеграла.
1
Множитель необходим потому, что каждый элемент поверхности встречается дважды, например, как dS13 и — dS21. Теорема Стокса может быть доказана следующим образом.
Так как обе части уравнения представляют собой инварианты, то достаточно доказать уравнение для какой-нибудь одиой системы координат. Выберем координаты так, чтобы поверхйгость лежала на одной из основных гиперповерхностей ж3 —const, a:4 = const и чтобы контур ее состоял из четырех частей, получаемых последовательно заданием X1 = а, ж2 = р, X1 = ?, ж2 = 8 *); все остальное пространство может быть заполнено координатной сеткой произвольным образом. Элементарная ячейка определяется при помощи образующих ее векторов ((Ixi О, 0, 0) и (0, dx2, 0, 0), так что на основании формулы (32.1) получаем:
(IS12 = dxxdx2 = — (IS21.
Следовательно, правую часть равенства (32.3) можно преобразовать так:
-/, I (^- /і і -1 )! і +
a P а
^5
-ГJ {[K^V-[K2Tjdx2.
р
Полученное выражение состоит из четырех членов, каждый из которых и дает значение интеграла J K^dx^ для одной из четырех частей контура.
') Определевный таким образом контур должен, впрочем, иметь углы в точках пересечения, образуемых четырьмя ограничивающими координатными линиями. Так как, однако, обе стороны доказываемого здесь уравнения (32.3) зависят от контура непрерывным образом, то любой Контур можно апроксимировать при помощи такого, для которого справедлив вышеуиомявутое предположение. (Я ,
33. Смысл ковариантного дифференцирования
Эю доказательство служит хорошей иллюстрацией методов тензорного исчисления. У нас шла речь о соотношении между дзумя величинами {dx)^ и (К —К Jd1SP'1, которые (при рассмотрении их ковариантных размерностей) оказались инвариантами, причем последняя величина была приведена к более простому виду при помощи формулы (32.2). Таким образом, соотношение оказалось не зависящим от выбора координат, хотя в равенстве (32.3) оно имеет такой вид, как еслн бы оно было отнесено к какой-нибудь определенной системе координат. При доказательстве соотношения между двумя инвариантами, которое должно быть справедливым вообще, мы естественно выбрали такие координаты, которые упрощают рассмотрение; благодаря этому наша работа была значительно сокращена проведением изогнутых ячеек так, чтобы четыре координатные линии и образовывали при этом контур.
33. СМЫСЛ КОВАРИАНТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
Предположим, что нам нужно рассмотреть с физической точки Зрения вопрос о том, как изменяется силовое поле от точки к точке. Если применять полярные координаты, то изменение радиальной компоненты не всегда еще указывает на неоднородность поля; это изменение хотя бы отчасти можно приписать разнице наклонов между радиальными направлениями в различных точках. Точно так же при употреблении вращающихся осей скорость
изменения количества движения h определяется не величиной ^ и т. д., но выражениями
