Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эддингтон А.С. -> "Теория относительности" -> 40

Теория относительности - Эддингтон А.С.

Эддингтон А.С. Теория относительности — М.: ОНТИ, 1934. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1934.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 176 >> Следующая


странстве-времени. Отсюда все же еще не видно, что и в случае наличия несводимого к нулю гравитационного поля, изменяющего природу пространства-времени, закон распространения потенциала будет иметь вид (30.8). Однако, предположение, что выражение

(30.8) дает общий закон распространения ® в любом простран-
ЗО. Ковариантная производная тензора 117

стве-времени, представляется вполне правдоподобным, так как это предположение подсказывается принципом эквпвалентности. Как и все обобщения, проверенные на опыте только в частном случае, оно может быть принято лишь с большой осторожностью.

Оператором ? мы будем часто пользоваться. В произвольных координатах он определяется так:

? = (30-9)

иди

таким образом, этот оператор означает ковариантное и контра-вариантное дифференцирования и последующее сокращение.

Перечень правил, употребляемых при ковари-антном дифференцировании.

1. Чтобы получить ковариаитиую производную какого-нибудь тензора А \ по хя, нужно, прежде всего, взять от него обычную производную:

затем на каждый ковариантный значок [х {А ’’’’ ) прибавить член

<*}А.

а на каждый контравариантиый значок ), прибавить

член

4-|<ха, [і]

2. Ковариантная производная произведения образуется при помощи ковариантного дифференцирования каждого множителя в отдельности по такому же правилу, как и обычное дифференцирование.

3. Фундаментальные тензоры g или д^ можно считать за постоянные при ковариантном дифференцировании.

4. Ковариантная производная от инварианта равна его обычной производной.

5. При получении вторых, третьих и высших производных отдельные дифференцирования не коммутативны*).

’) Последнее правило приведено здесь дія полноты. Оно будет рассмотрено ниже в п. ЗФ.
118

Тензорное исчисление

31. ВТОРОЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОВАРИАНТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.

На основании формулы (23.22), имеем

Отсюда, дифференцируя, получим

да' ( д2х дхв д2х дх.

*/ U.V I a D I а ь

?}+ U '

1 da-' da-' дх[ дх

(t V X T

Здесь было принято во внимание, что

д9«р _ cK.

(? (?Ж до „

(31.11)

V» W /П *

» >

кроме того во втором члене, стоящем в фигурных скобках, были переставлены немые значки а и р.

Точно также имеем:

д9І { д‘іх, дхъ , д'2х, дх

_Пч

дх'

( д^х дха д'2х дха)

)1 — а J________________1_________________Ё j______________!l_ . _Ё І і

\ дх' дх' дх' ' дх' дх' дх' I

u. ' u. v X и. К v '

{J. V X {J.

, дх, dx^dxtд9ь 1 дх^ дх'ч dx'. дха

д9Іх _ J dK дх? , д% дхр

(31.12)

дх' J-31 <3а-' ch' дх'. ' сЬ' dx! да-'

,J 4 V JJ- X v X

+

дх дхадх да

а (3 Y a'

+ *???- (3U3)

(I V X P

Складывая равенства (31.12) и (31.13) и вычитая равенство

(31.11), на основании (27.1), получим
31. Второй способ определения ковариантной производной 119

дх

Умножая каждый член полученного выражения на д'^-^-т и

дх

р

применяя формулы (27.3) и (23.21), будем иметь

, ,, дх- д2х дха дх.

{ [jbvJ P } —9 я ^ л , • /Хр3-7 Ч~

1 J da; aV дх дх дх. дх 1

P Iа N P

. да; дх дх дха + <31*3>

Xp |4 V

д-х дх дх

= d^k'+W-dZgvW' т] =

[А V {А Ч

cfix да; дха . .

' •). (31-3)

дх дх' 1 да;' дх1

[IV |1

Последняя формула дает выражение для второй производной д%Е

-<¦, через первые производные.

(JX (JX

JA V

Согласно (23.12) имеем

4 = ^4- <31-4>

Дифференцируя полученное выражение, получим дА' д-х дх дх. дА

дх дх дх дх' дх дх. ’

ч (j. V ft м й

применяя формулу (31.3) и заменяя немые значки в последнем члене на а и р, найдем

дА' (. / да; да; дх, . \ дх дх. дА

-U= Iw 'Ы-агяЛ* '1)^+37S'=• (31-*

Vv р tA V / JJ, V р

Точно также, согласно (23.12),

дх

As- = A'

Е дх P

р

Таким образом, выражение (31.5) принимает вид

дА' , , дж„ дха I дА , , \

P') *14 <31-6>

M JA V \ P 1

Следовательно, величина

дА і л

pK
120 Тензорное исчисление

подчиняется закону преобразования ковариантного тензора. Таким образом, результат, выражаемый формулой (29.3), получен нами вторым способом.

В равенстве (31.4) вместо тензора Atx можно подставить тензор второго или высших рангов, их производные будут опре долаться по такому же правилу.

32. ЭЛЕМЕНТЫ ПОВЕРХНОСТИ И ТЕОРЕМА СТОКСА.

Рассмотрим теперь внешнее произведение ^ двух различных

перемещений dи 8жч. Тензор ^ по отношению к значкам р-

и V не будет симметричным. Произвольный тензор такого вида MOVKHO разложить на сумму двух частей, из которых первая часть

-j- ^ j симметрична, а вторая ^ ^ j анти-

симметрична в значках.

Удвоенная') антисимметричная часть произведения dx^ox^ называется элементом поверхности, составленным двумя перемещениями, и обозначается через dS^v.

Согласно только что сказанному

dS^' = dx За; — ох За; —

ц V -IV-

d^dxA (32.1)

8а; 8а;

В прямоугольных координатах этот детерминант представляет собой площадь проекции параллелограмма, образованного из обоих перемещений, на плоскость jav; таким образом, компонентами тензора являются проекция параллелограмма на шесть координатных плоскостей. В тензоре dS^ эти компоненты повторяются дважды: один раз с положительным и один раз с отрицательным знаком (что, может быть, соответствует двум сторонам поверхности). Четыре компоненты dS11, d№2 и т. д. равны нулю, как и для любого антисимметричного тензора. В прямоугольных координатах смысл термина «элемент поверхности» очевиден, но в других координатных системах его геометрическое значение становится менее ясным.
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed