Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
странстве-времени. Отсюда все же еще не видно, что и в случае наличия несводимого к нулю гравитационного поля, изменяющего природу пространства-времени, закон распространения потенциала будет иметь вид (30.8). Однако, предположение, что выражение
(30.8) дает общий закон распространения ® в любом простран-
ЗО. Ковариантная производная тензора 117
стве-времени, представляется вполне правдоподобным, так как это предположение подсказывается принципом эквпвалентности. Как и все обобщения, проверенные на опыте только в частном случае, оно может быть принято лишь с большой осторожностью.
Оператором ? мы будем часто пользоваться. В произвольных координатах он определяется так:
? = (30-9)
иди
таким образом, этот оператор означает ковариантное и контра-вариантное дифференцирования и последующее сокращение.
Перечень правил, употребляемых при ковари-антном дифференцировании.
1. Чтобы получить ковариаитиую производную какого-нибудь тензора А \ по хя, нужно, прежде всего, взять от него обычную производную:
затем на каждый ковариантный значок [х {А ’’’’ ) прибавить член
<*}А.
а на каждый контравариантиый значок ), прибавить
член
4-|<ха, [і]
2. Ковариантная производная произведения образуется при помощи ковариантного дифференцирования каждого множителя в отдельности по такому же правилу, как и обычное дифференцирование.
3. Фундаментальные тензоры g или д^ можно считать за постоянные при ковариантном дифференцировании.
4. Ковариантная производная от инварианта равна его обычной производной.
5. При получении вторых, третьих и высших производных отдельные дифференцирования не коммутативны*).
’) Последнее правило приведено здесь дія полноты. Оно будет рассмотрено ниже в п. ЗФ.
118
Тензорное исчисление
31. ВТОРОЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОВАРИАНТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.
На основании формулы (23.22), имеем
Отсюда, дифференцируя, получим
да' ( д2х дхв д2х дх.
*/ U.V I a D I а ь
?}+ U '
1 da-' da-' дх[ дх
(t V X T
Здесь было принято во внимание, что
д9«р _ cK.
(? (?Ж до „
(31.11)
V» W /П *
» >
кроме того во втором члене, стоящем в фигурных скобках, были переставлены немые значки а и р.
Точно также имеем:
д9І { д‘іх, дхъ , д'2х, дх
_Пч
дх'
( д^х дха д'2х дха)
)1 — а J________________1_________________Ё j______________!l_ . _Ё І і
\ дх' дх' дх' ' дх' дх' дх' I
u. ' u. v X и. К v '
{J. V X {J.
, дх, dx^dxtд9ь 1 дх^ дх'ч dx'. дха
д9Іх _ J dK дх? , д% дхр
(31.12)
дх' J-31 <3а-' ch' дх'. ' сЬ' dx! да-'
,J 4 V JJ- X v X
+
дх дхадх да
а (3 Y a'
+ *???- (3U3)
(I V X P
Складывая равенства (31.12) и (31.13) и вычитая равенство
(31.11), на основании (27.1), получим
31. Второй способ определения ковариантной производной 119
дх
Умножая каждый член полученного выражения на д'^-^-т и
дх
р
применяя формулы (27.3) и (23.21), будем иметь
, ,, дх- д2х дха дх.
{ [jbvJ P } —9 я ^ л , • /Хр3-7 Ч~
1 J da; aV дх дх дх. дх 1
P Iа N P
. да; дх дх дха + <31*3>
Xp |4 V
д-х дх дх
= d^k'+W-dZgvW' т] =
[А V {А Ч
cfix да; дха . .
' •). (31-3)
дх дх' 1 да;' дх1
[IV |1
Последняя формула дает выражение для второй производной д%Е
-<¦, через первые производные.
(JX (JX
JA V
Согласно (23.12) имеем
4 = ^4- <31-4>
Дифференцируя полученное выражение, получим дА' д-х дх дх. дА
дх дх дх дх' дх дх. ’
ч (j. V ft м й
применяя формулу (31.3) и заменяя немые значки в последнем члене на а и р, найдем
дА' (. / да; да; дх, . \ дх дх. дА
-U= Iw 'Ы-агяЛ* '1)^+37S'=• (31-*
Vv р tA V / JJ, V р
Точно также, согласно (23.12),
дх
As- = A'
Е дх P
р
Таким образом, выражение (31.5) принимает вид
дА' , , дж„ дха I дА , , \
P') *14 <31-6>
M JA V \ P 1
Следовательно, величина
дА і л
pK
120 Тензорное исчисление
подчиняется закону преобразования ковариантного тензора. Таким образом, результат, выражаемый формулой (29.3), получен нами вторым способом.
В равенстве (31.4) вместо тензора Atx можно подставить тензор второго или высших рангов, их производные будут опре долаться по такому же правилу.
32. ЭЛЕМЕНТЫ ПОВЕРХНОСТИ И ТЕОРЕМА СТОКСА.
Рассмотрим теперь внешнее произведение ^ двух различных
перемещений dи 8жч. Тензор ^ по отношению к значкам р-
и V не будет симметричным. Произвольный тензор такого вида MOVKHO разложить на сумму двух частей, из которых первая часть
-j- ^ j симметрична, а вторая ^ ^ j анти-
симметрична в значках.
Удвоенная') антисимметричная часть произведения dx^ox^ называется элементом поверхности, составленным двумя перемещениями, и обозначается через dS^v.
Согласно только что сказанному
dS^' = dx За; — ох За; —
ц V -IV-
d^dxA (32.1)
8а; 8а;
В прямоугольных координатах этот детерминант представляет собой площадь проекции параллелограмма, образованного из обоих перемещений, на плоскость jav; таким образом, компонентами тензора являются проекция параллелограмма на шесть координатных плоскостей. В тензоре dS^ эти компоненты повторяются дважды: один раз с положительным и один раз с отрицательным знаком (что, может быть, соответствует двум сторонам поверхности). Четыре компоненты dS11, d№2 и т. д. равны нулю, как и для любого антисимметричного тензора. В прямоугольных координатах смысл термина «элемент поверхности» очевиден, но в других координатных системах его геометрическое значение становится менее ясным.