Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
[Приведем другое доказательство того, что величины в правой части (30) действительно являются тензорами. Эт0 можно сделать еще при помощи простого обобщения метода, описанного в предыдущем параграфе.
Таким образом, если вместо (29.1) взять выражение
являющееся инвариантным вдоль геодезической линии, то получим
і
— J] {ov,а} /Г;;.;;; й;-j- {м,х} л;;;’;;; в
+ 2{оа’^:±: в;;;:;;; = ^:::
...V............X.. .<j 1 .. .х...........V...а
дА dx dx dx
U.V (J {J.
dx ds ds ds
Теория относительности.
11ч. Тензорное исчисление
Заменяя вторые производные согласно (28.5), будем иметь>
что
dx dx dx
Л ____t.__I__1
Si4j ds ds ds
есть инвариант; последнее выражение показывает, что .4 есть тензор.
формулы (ЗОЛ) и (30.2) получены при помощи поднимания значков VH^.: детали этого преобразования такие же, как и при выводе формулы (29.4) из (29.3).
Рассмотрим выражение
В С +В С ,
V I {j. va'
в котором значок а означает ковариантное дифференцирование. На основании равенства (29.3) это выражение равно
(? - {^a < в°)с"+в* (? “ a}с«) =
=?" (^cO- И*}
и
Ho, сравнивая с (30.3), мы видим, что полученное выражение есть ковариантная производная от тензора второго ранга (В С ). Отсюда
X = B^Ci +Bi^Ci, (30.5)
Таким образом, при ковариантном дифференцировании произведения дистрибутивный закон, соблюдающийся при обычном дифференцировании, остается справедливым. ]
Применяя формулу (30.3) к фундаментальному тензору, получим, в виду (27.4) п (27.5),
V» = { ^а>« } 9„ — I *»» « Iv =
= — [ H-3, ^ ] — [ vo, (і ] = 0.
J
Итак, ковариаптные производные фундаментальных тензоров тождественно равны нулю, и, следовательно, фундаментальные тенроры могут рассматриваться как постоянные при ковариантном дифференцпровашш. Таким образом, несущественно, поднять ли
ЗО. Ковариантная производная тензора
115
Значок до или после дифференцирования, что нами уже оыло использовано в предложенных определениях.
Если величина I есть инвариант, то произведение IA есть ковариантный вектор; следовательно, его ковариантная производная будет равна:
(Ч).=Ir (Ч) - {р. *} ¦ч ¦= 4. % + ч, ¦
V V
Определяя, следовательно, ковариантную производную Ii инварианта I так, чтобы имело место правило для произведения, мы должны иметь:
(Ч)*=/А+Ч*>
так что
v dx.t
Итак, ковариантная производная от инварианта имеет такой же вид, как и его обычная производная.
Само собой разумеется, что сохранить обозначение .4 исключительно для ковариантной производной от A^ невозможно, поэтому последний значок не означает дифференцирования, если
об этом ничего специально не сказано. В тех случаях, когда возможны недоразумения, мы будем обозначать ковариантные и контравариантные производные через (АД, и (Aj)''.
Удобство пользования ковариантной производной заключается прежде всего в том, что при постоянстве величин д трехзначковые символы обращаются в нуль и ковариантная производная сводится к обычной производной. Ho, вообще говоря, наши физические уравнения выражались при помощи галилеевых координат, в которых величины д постоянны; следовательно, в галилеевых уравнениях можно заменить обычные производные на ковариантные. Очевидно, что при этом ничего не изменится. Такая замена является необходимым шагом при приведении таких уравнений к общему тензорному виду, который имеет место для всех систем координат.
Для иллюстрации найдем общее уравнение для распространения потенциала со скоростью света. В галилеевых координатах это уравнение имеет хорошо известный вид:
(?2Ф ??20 <92СЭ <92ф
116
Тензорное исчисление
В галилеевой системе координат величины </*' имеют следующие значения: (744=!, дп = <?22 = ^33 =— 1, а остальные компоненты равны нулю.
Поэтому выражение (30.6) можно переписать так:
г-*г?г=°- (30-65>
V- '*
Потенциал 9 есть инвариант, а его обычная производная
до
является ковариантным вектором = -.
ду
Следовательно, в случае галилеевых координат вместо
можно подставить ковариантную производную ср .
Таким образом, уравнение принимает вид:
/vV = O- (за7)
До этого пункта существенным было употребление галилеевых координат, но теперь, при рассмотрении ковариантной размерности равенства (30.7), мы замечаем, что его левая часть предста^ вляет собой инвариант. Поэтому при любом преобразовании координат это выражение остается неизменным. Следовательно, равенство (30.7) справедливо для всякой системы координат, если оно соблюдается в одной нз них. Применяя формулу (29.3), можно написать (30.7) в более подробном виде:
•!??)-“• <за8)
Vh- ' «/
Эта формула применяется при преобразовании уравнения Лапласа к криволинейным координатам.
Следует помнить, что преобразование координат не меняет свойств пространства. Таким образом, если мы на опыте обнаружили, что потенциал ® распространяется согласно закону, выражаемому формулой (30.6) в декартовых координатах, то отсюда строго следует, что он будет распространяться согласно закону
(30.8) по отношению к любой системе координат в плоском про-
