Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
F-' ^ A^ I (__ .л ,Г" I /
110
Тензорное исчисление
Общее правило ковариантного дифференцирования по ха можно иллюстрировать на следующем примере
Как мы видим, каждому значку первоначального тензора соответствует дополнительный член сверх обыкновенной производной. Второй множитель такого дополнительного члена представляет собою первоначальный тензор, причем соответствующий значок заменен каким-то немым значком вс, по которому производится суммирование. Первый же множитель является трех-значковой скобкой Кристоффеля, образованной из первоначального значка (которому соответствует данный дополнительный член), из немого значка а и наконец значка дифференцирования о.
Порядок расположения этих трех значков легко запомнить, «ели прежде всего принять во внимание, что положение а обратпо положению значка [і в первоначальном тензоре (или помещающемуся на этом месте значку а во втором множителе), т. е. его надо располагать за запятой, если а во втором множителе находится внизу, и перед запятой, если а стоит наверху. С другой стороны, значок ц должен занимать то же самое положение, как и в первоначальном тензоре. Наконец, на основании соображений однородности, значок а всегда должен стоять перед запятой, так как в первом члене ковариантной производной о играет роль нижнего значка. Весь этот дополнительный член имеет перед собой знак — или в зависимости от того, занимает ли значок, соответствующий {А, нижнее или верхнее положение.
Доказательство этого правила, прежде всего для случая, когда имеются лишь нижние значки, легче всего получить методом полной индукции. Случай одного значка, т. е. ковариантного вектора, был уже рассмотрен выше. Если мы допустим справедливость этого правила для тензора с п нижними значками, то надо будет доказать его справедливость для тензора с (л —J— 1) значками (»^> 1).
Пусть Cli будет произвольным контравариантным вектором, тогда, применяя к тензору Ax^cn ковариантными значками
{аз> р} 4U •
(30.4;
ЗО. Ковариантная производная тензора Hl
сформулированное выше правило, мы получим тензор с (и -J- І) ковариаптньши значками:
.....tVSl"*'K-..,' с" (ам"
а
Если вспомнить теперь, что внутреннее произведение кова-риантной производной (29.4) от Ctt на А х также представляет собою тензор с (и -j- 1) ковариантными значками, а именно
‘^.,-(жг+ <*«о
\ » /
и вычесть поэтому выражение (30.42) из правой части (30.41), то мы опять получим тензор с (п 1) ковариантными значками,
т. е.
л...х...„ — S {зх>а }А........с' - {аг’ ^ A...r. J %
эткуда, заменяя в последнем члене немые значки s и |t на ^ а а, можем написать
дА. дх.
S {з*>«м...«...и,— м. ..X..
Ho так как С11 есть произвольный ковариантный вектор, то выражение в скобках должно быть тензором с (п -)- 2) ковариантными значками, а оно как раз и получается из А х согласно приведенному выше правилу.
Чтобы доказать теперь это правило также и для тензоров с контравариантными значками, мы предположим, что оно уже показано для тензора, имеющего какое угодно число ковариант-яых и п контравариантных значков («3= 0). Очевидно, что эго правило имеет место для п = 0. Сделав такое предположение, мы покажем, что оно будет справедливо для произвольного тензора ''J с и~і~1 контравариантными и любым числом ковариант-ных значков.
Согласно сделанному предположению, наше правило применимо
112 Тензорное исчисление
к тензору А'"!'хс п ковариантвыми значками, следовательно, выражение
д .х... —У { зх, а } А"'*"" -}-
fjj. ... х... [і 1 > ... о... [Л 1
5
-f 2 {аа, х} {3!х, а} л;;д;;;а ;30.43)
также представляет собою тензор.
Если положить
А-'х-- =д А”д-"е; А"'1-- = д А'"х-"\
...Х...|А i7IAfi ...X... 1 ...a. ..{A t7JAB . . .а. . . /
то выражение (30.43) принимает вид
З г .
a — А —і— А ' — ч J1 ох, а ] А 4-
it^dx •¦•*••• ‘ ...X... dx ’ 1 ...о... 1
<3 J
+ 2 {аа»х М:: —0« I *} а ¦ ¦ ¦ ¦ •/.
Комбинируя теперь второй член с последним и применяя тождества (27.4) и (27.5), т. е.
9„ { аЪ а } = [0H-J s] ; =¦ [ац, єJ -f [ аг, а] ,
мы получим для нашего тензора следующее выражение:
9,
>“ дх.
+ [5sJ р]л;;;*;;;8.
Заменяя в последнем члене немой значок є на а, умножая затем весь тензор на и принимая во внимание, что выражение g g*4 =gl представляет собою оператор подстановки у., мы получим тензор
—2Н0Х>а і А~f2{aa,x I-4”!*.’"* +
• }-{за, v} /Г-
который составлен из J4’"*"'v, согласно нашему правилу.
ЗО. Ковариантная производная тензора
113
В заключение докажем еще правило для дифференцирования произведения
Оно получается сразу же* благодаря тому обстоятельству, что яри ковариантном дифференцировании тензор в 'v^'" оказывается общим множителем для тех дополнительных членов, которые относятся к значкам А, в то время как дополнительные члены, соответствующие значкам В, содержат общим множителем коэффициент J В самом деле:
Следовательно, обычное правило дифференцирования произведения формально сохраняется и для ковариантного дифференцирования произведения.
