Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = a dx dx ,
^UV {X V'
ТО
2 ds 8 (dx) = ix‘ dx,t 8 g + g dx^ 8 (dx) + g^ dx.t 3 (dx^ ) == dg
= dx^ dx4 4 + V d (3 *,) -C .”) (28-1 '
. *) Нашей конечной целью является уравнение (29.3). Другое доказательство (получаемое без помощи вариационного исчисления) приведено в п. 31.
*’) Читатель легко сообразить, что в виду симметрии оба последние члена тождественны друг с другом. Довольно удобно воспользоваться наличием этой симметрии только в конце вычислений.
JOi їензорпов исчисление
Условие стационарности имеет вид:
f S (ds) = 0, (28.2)
что согласно (28.1 і можно представить в следующем виде:
I /'\dx dx, да dxt ч , dx d |
' О / { —у ; fIX 4-у (Sajv)-I- Sruv —(о X ) } ds — О
- J j ds ds дх_ Ijv ds ds ds ds
или, изменяя немые значки в последних двух членах:
(dx dx да / dx dx \ d ,.ч I
__L -Ji __?! 8 х -I- ^ „ —- )-7- (S х ) ds =- 0.
I as ds дх * \ ds ' ' ds ) ds " j
J Ч л Ub UU 2 \ Ub (« Л / " j
Применяя обычный метод интегрирования по частям и вычеркивая проинтегрированную часть полученного выражения,так как 6 = 0 на обоих пределах, в результате получим:
I / [ dx dx да d I dx dx \ I „
— I J___Vl___________( g _______Я-4-o -J k Л = 0.
? J j ds ds дх^ as \ ds ‘ ’ 5V ds J j °
Эго должно быть справедливым для всех значений произвольных смещений Occo во всех точках, следовательно, коэффициент в подннтегральном выражении должен равняться нулю во всех точках линии.
Таким образом
i^dx^dx^dg^_______dg^ dx^ ^ і <4 _ J_ (Px^
2 ds ds дх 2 Js ds 2 ds ds 2 Ifc2 ¦ ”
іfix
2 ^
0„-r^=O.
Ho *)
da dq dx dg do dx
__ *'p.J ч ‘'sv _ «/ffv p.
ds dx ds ds дх іds
Заменим в последних двух членах немые значки |х и v на s. Тогда уравнение принимает вид
і dx dx і да да dq \ rf2х
, ,/ >?1_ -V ?™\—g (28.3)
2 ds dx \ Ox dx dx J ' SI ^ff3
'3 V [л '
" Эти простые формулы заслуживают внимания как иллюстрация большого значения условия о суммировании. Закон полного дифференцирования в случае четырех координат остается формально таким же, как н цри одной координате.
-I dx dx Ida да да \ d2x
* {jl V <j« I ** и.в і ,7uv \ і a
2 ds ds ^
'29. Ковариантная производная вектора 105
От множителя gt7 можно освободиться, умножая все выражение на gai, чтобы получить подстановочный оператор g* .
Итак,
і да да dq \ d?x
W+?-*r +^f=0' (2fU)
' V JJL (J /
пли, на основании (27.2):
d2x dx dx _4
MlfcrfT = 0' ( M
Поставляя в это выражение значения вс = I, 2, 3, 4, получим четыре уравнения, определяющие геодезическую линию *).
29. КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРА.
Производная от инварианта есть ковариантный вектор (п. 19), но производная от вектора не есть тензор. Мы теперь найдем некоторые тензоры, применяемые в данной теории вместо обычных производных от векторов.
Так как dx^ — коитравариантно, a ds — инвариант, то «скорость» dx.^jds есть контравариантный вектор. Отюда, если есть какой-либо ковариантный вектор, то внутреннее произведение
dx
А, —— будет представлять собой инвариант.
Величина изменения этого выражения, рассчитанная на единицу длины вдоль какой-либо выделенной кривой, также не должна зависеть от системы координат, т. е.
d ( к dx\ .
—-1 Ati J есть инвариант. (2УД)
Однако, здесь предполагается, что мы все время имеем дело с одной в той же абсолютной кривой, как бы ни изменялась
*) Так как в дальнейшем мы будем пользоваться также и геодезическими нулевыми линиями, к которым данное в тексте определение непосредственно не относится, то отметим здесь еще следующее:
Если определить геодезические линии с помощью условия
5J V!U-,dxUdx-! =0 (I)
п ввести некоторый обобщенный параметр р, который мошет и не совпади • • •
дать с длиной дуги, то мы получим, полагая —?. — и я х л = L,
ар h ^
Тензорное исчисление
система координат. Поэтому результат, выражаемый формулой
29.1), имеет практическое значение только в том случае, если
его применять к кривой, определенной независимо от системы
координат. Мы применим поэтому (29.1) к геодезической линии.
Выполняя дифференцирование, получим, что выражение
дАр dx, dx.; t t "''f J. j qq ..j ^
дх, dt ' ds ^ v- ds2 ( }
инвариантно вдоль геодезической линии.
Из (28.5) имеем, что вдоль геодезической линии
dPx d-x dx dx
A = A “ ==—A {JAV5 a} ——: ^.
Si rfs2 * ds2 ' ds ds
Отсюда по условию (29.2) следует, что
dx dx (dA
есть инвариант.
Если отождествить Jj с длиной дуги S1 то L получит значение 1, таї что наше условие обращения в нуль вариации интеграла от g х х ПрИ-
МеТ ВИД * f ’ ’ J П
0J (*
при условии, что параметр р есть длина дут s, или какая-либо (не постоянная) линейная функция от s.
Действительно, при введении нового параметра уравнение (II), вообще говоря, не сохраняет своего вида. Если написать дифференциальные уравнения Эйлера-Лагранжа, соответствующие условию (II),
J_dL ________ ti_L
v-
то опять получаются уравнения геодезической линии (28.5), выраженные через параметр р:
