Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эддингтон А.С. -> "Теория относительности" -> 35

Теория относительности - Эддингтон А.С.

Эддингтон А.С. Теория относительности — М.: ОНТИ, 1934. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1934.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 176 >> Следующая


Полезно заметить, что немые значки имеют некоторую свободу передвижения между тензорами-множителями в выражениях.

Так например,

Л ,Bop = А*?В ,, A Bm = А*В‘ . (26.3)

lXp up 7 р.а {х а ' /

Значок может быть поднят у одного из членов выражения при том условии, что такой же значок будет опущен в другом.

Эго легко доказать при помощи формул (26.1) и (26.2).

В элементарном векторном анализе два вектора определяются как перпендикулярные друг другу, если нх скалярное произведение равно нулю, а квадрат длины вектора принимается равным скалярному произведению его на самого себя. Соответствующие определения приняты и в тензорном исчислении.

*) Если (Isi — dx\ -\- <1т*, то =g= так что все три тен-

зора в этом случае являются просто операторами подстановки.
26. Сопряженные тензоры 101

Говорят, что векторы А и перпендикулярны друг К другу, когда

AtBli =0. (26.4)

Если I есть длина величины A^ (или Л1*), то

/2 = AvtAv-. (26.5)

Вектор перпендикулярен к самому себе, если его длина равна 0 (изотропный вектор).

Интервал представляет собой длину, соответствующую перемещению Ctei, так как

*2 = gv, (dxf (dx)‘)

или, применяя (26.2)

ds2 = (dx)} (dxf .

Таким образом, перемещение перпендикулярно к самому себе,

если оно направлено вдоль пути распространения света, на кото-

ром ds = 0.

Если вектор Ati получает бесконечно малое приращение dAtt в перпендикулярном направлении, то его длина остается неизменной с точностью до бесконечно малых первого порядка, так как на основании (26.5)

(/ + d()2 = + AiiJ + 4А» у,

пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получим:

(/ + dO2 = # d\ + \ d^,

или, принимая во внимание (26.3)

(/ 4- dl)- = Р-\-2А^ dA* ; но Afi dA'~ — 0 из условия перпендикулярности (26.4).

В элементарном векторном анализе скалярное произведение двух векторов принимается равным произведению их длин на косинус угла между ними. Согласно общей теории, угол Ь между двумя векторами А и определяется следующей формулой:

A Bfl

cos 0 = — ----------------------------------Tlt . (26.6)

Yr (AaAa) (В? В?)

Ясно, что определяемый таким образом угол представляет собой инвариант и совпадает е обычным определением угла
JOi

Тензорное исчисление

в случае прямоугольных координат. При определении угла между двумя пересекающимися прямыми совершенно не важно, является ли мир кри !ым или плоским, так как в данном случае имеют значение только начальные направления, которые так или пначе будут лежать в касательной плоскости. Таким образом, угол 6 (если он существует) имеет обычное геометрическое значение даже в не-эвклидовом пространстве. He нужно однако думать, что обычные углы остаются инвариантными при преобразовании Лоренца; ясно, что угол в трех измерениях инвариантен только по отношению к преобразованиям, происходящим тоже только в трех измерениях, углом же, инвариантным по отношению к преобразованием Лоренца, является четырехмерный угол.

Тензор четного ранга всегда можно преобразовать в инвариант, перемещая половину значков в верхнее и половину в нижнее положение, а затем производя сокращения. Так, из Aavj. получаем А" и, сокращая, имеем А = Этот инвариант называется следом *). Другим примером инварианта может служить квадрат длины 4 Кроме того, возможны случаи промежуточных

Введем два выражения (не тензорных), имеющие большое значение во всем нашем последующем изложении, а именно:

Результат, выражаемый формулой (27.3), очевиден из определений. Чтобы доказать (27.4), умножим (27.3) на дт, тогда

инвариантов, как например A^.

27. ТРЕХЗНАЧКОВЫЕ СКОБКИ КРИСТОФФЕЛЯ.

(27.1)

д9л

дх

(27.2)

Имеем

{fi.v,o} = <Г [;jv, л] |>v, о] = gal {jiv, л}

(27.3)

(27.4)

¦9с« (Jav) а) = 9т (f' [Jav; xI = 9а [Jav) xJ = Dxv) “]

что эквивалентно формуле (27.4).

*} По-немецки Spur.
28. Уравнения геодезической линии

103

Сравнивая (26.1) и (26.2), заключаем, что переход от «квадратных» к «фигурным» скобкам и обратно представляет собой такой же процесс, как поднимание и опускание значка.

Возможно, что в некоторых случаях было бы удобно приме-нять обозначения, явно выражающие это обстоятельство, например, писать

но мы будем придерживаться обычных обозначений.

На основании (27.1) найдем, что

[av, a] 4- [av, ji] = (27-5)

Имеется 40 различных трехзначковых скобок каждого вида. He-л:ішне будет здесь же заметить, что д являются компонентами !к) бщенного потенциала, а трехзначковые скобки — компонентами обобщенной силы в гравитационной теории (см. п. 55).

28. УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ЛИНИИ.

Найдем теперь уравнения геодезический линии, т. е. ли. нии между двумя точками, для которой соблюдается условие, что Jd, стационарно.

Эта абсолютная линия имеет фундаментальное значение в динамике, но в данный момент она будет нас интересовать только с точки зрения развития тензорного исчисления *).

Сохраняя начало и конец неподвижными, придадим каждой промежуточной точке линии произвольное бескоиечно-малое смещение 8а;, деформируя ее таким образом. Так как
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed