Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
*) Следует отметить, что при этом доказательстве существенно используется свойство симметрии (^jlv =.9^). Если А есть какое-либо выражение не обязательно симметричное, то из инвариантности A^dx^dx вовсе не следует, что А является тензором. Мы можем тогда только заключить, что
ной же час|ги еще ничего нельзя сказать (см. предпоследний абзац п. 2І).
**) Вводя это обозначение, исходим из того, что величина , как это будет доказано далее, есть контравариантный тензор.
"**) Заметим, что ffp выполняет роль оператора подстановки для всякою
выражения, а не ограничивается в своем применении только тензорами.
Теория относительности. 7
011 012 013 014 I
021 022 023 0-24 !
031 032 033 034
041 042 043 044
Определим затем qкак минор величины д в этом опреде-
Итак.
(25.1)
OlAv- = А‘ -j -0 + 0 4-0.
(25.2)
симметричная часть (/I^j v,) от A^j есть тензор. Об антисимметрич-
1)8
Тензорное исчис.іение
Заметим, что при [* = v, так как в первом случае под-
разумевается процесс суммирования. Очевидно, что
^ = 1 + 1 + 1 + 1=4. (25.3)
Из уравнения (25.2) следует, что прн умножении выражения д’ на произвольный контраварнантный тензор мы всегда получим вектор. Следовательно, дч есть тензор. Этот тензор является весьма исключительным, нбо все его компоненты остаются одними и темн же в любой системе координат.
ж/» va vj
Кроме того, так как д д есть тензор, то и д тоже тензор. Действительно, это можно строго доказать, отметив прежде всего, что выражение д^А^ представляет собой произвольный ковариантный вектор, так как может быть выбрано каким угодно. Умножая затем этот вектор на д”, получим а*=9;а*=Л\
так что произведение всегда оказывается вектором и применима строгая теорема частного.
Тензорный характер величины дможет быть также показан при помощи метода, обнаруживающего более ясно причину, благодаря которой дбыло определено как минор д , деленный на д. Так как д A1 есть ковариантный вектор, то его можно обозначить через В . Таким образом, получаем
Sn A1 + Ab —Г—Sr14 A4 ~ B1',
9п A1 + д.2-і A2 + д23 A3 + g2l A4 = B2;
Sfзі A1 + д32 A2 + дш A3 + Ai = Bs;
9ц A1 + #42 A2 + gi3 A3 + ди Ai = Bi.
Решая эти четыре линейных уравнения относительно А1,
A3, Ai обычным образом при помощи определителей, получіш, в виду равенства д^ = д^:
Ai = дн U1 + <712 В2-\-д™ Bb + д* Bi;
А* = д«. B1 +д^В2 -Ygt23B3 + ^ Bi и т. д.,
так что
^ = /4.
Следовательно, на основании строгой теоремы частного можно заключить, что десть тензор.
Итак, мы определили три фундаментальных тензора: д } д^, д, из которых первый является ковариантным, второй — смешанным и третий — контравариантным тензором.
2б. Сопряженные тензоры
26. СОПРЯЖЕННЫЕ ТЕНЗОРЫ.
Рассмотрим теперь операцию, состоящую в перестановке значка из ннжнего в верхнее положение и обратно. Перестановка значка у вектора из нижнего в верхнее положение определяется уравнением
^ = /4,
а из верхнего положения в нижнее уравнением
А = д А\
(X [JLV
Для тензоров, имеющих более общий характер, как, например, ЛЦ , операция поднимания [і определяется точно таким же образом, а именно:
<=/’<, (26.1)
и операция опускания:
< = <26-2)
Эти определения вполне последовательны. В самом деле, если сперва произвести операцию поднимания значка, а затем опускания, то в результате получится первоначальный тензор.
Например, если умножить уравнение (26.1) на д для того, чтобы опустить значок в выражении, стоящем слева, то будем иметь на основании (25.2)
д A1I^ = д = о4 ^ = AtI
У <хЪ Cfy apv apj *
Полученный результат представляет собой не что иное, к«к правило, выраженное формулой (26.2).
Необходимо отметить, что поднимание значка v при помощп величины сопровождается подстановкой їх вместо v. Вся операция в целом весьма аналогична простой замене jj. на v при помощи д* . Итак:
умножение на д** дает подстановку и поднимание значка, умножение на дает простую подстановку, а умножение на д дает подстановку и опускание значка.
В случае несимметричных тензоров может оказаться необходимым отличать чем-нибудь место, из которого значок был поднят, т. е. различать друг от друга величины А* и A1
7*
JOO
Тензорное исчисление
Легко видеть, что это правило связи между тензорами со-Значками в различных положениях выполняется и для ^v) 9‘v, д; действительно, определение величины д’ формулой (25.1) есть частный случай равенства (26.1).
В случае прямоугольных координат поднимание или опускание значка не изменяет компонент в трехмерном пространстве *) а в четырехмерном пространстве-времени меняет лишь знаки на обратные у некоторых из компонент галилеевых координат. Так как элементарные определения физических величин относятся к прямоугольной системе координат и времени, то обычно можно пользоваться любым нз сопряженных тензоров для описания физической сущности явления, не нарушая при этом до-релятивист-ских определений. Это ведет к некоторому расширению представления о тензоре, как величине, не имеющей в самой себе никаких особых ковариаитных или контравариантных свойств, но имеющей компоненты различной степени ковариантности или контрава-риантности, представляемые целой системой сопряженных тензоров. Иначе говоря, поднимание или опускание значков не должно рассматриваться как изменение «индивидуальности» данного тензора, так что какое-либо предложение о тензоре A^ содержит в себе (если позволяет изложение) и заключения о сопряженных тензорах A^l и А*'.
