Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
дх дх,
А ' = —A4; (23.22)
у-'1 дх дх
смешанные тензоры
дх дх ' ,
Ar' = -г-i--------(23.23)
Y- дх дх„ а '
и- P
Эти выражения называются тензорами второю ранга. Точно такие же законы преобразования справедливы и для тензоров высших рангов, напрнмер:
дх__ дх^ дх_, дх'
92
Тензорное исчисление
Быть может, не будет лишним указать читателю, что выражение (23.3) дает общий вид 256 различных уравнение, прнчем правая сторона каждого из них состоит нз суммы 256 членов.
Легко показать, что эти законы преобразований выполняют условие самосогласованности, изложенное в п. 20. Именно, благодаря этой причине для подчиняющихся этому условию величин и выбраны спедиальные названия.
Если тензор обращается в нуль, т. е. все его компоненты оказываются равными нулю в одной какой-ннбудь системе координат, то он остается равным нулю и во всякой другой системе координат, что ясно нз линейности приведенных законов преобразования. Очевидно, сумма двух тензоров того же контравариант-ного или ковариантного характера есть тензор. Следовательно, закон, выражающий равенство нулю суммы некоторого числа тензоров или равенство двух тензоров одного и того же вида, будет независимым от данной системы координат.
Произведение двух тензоров, например, таких, как Aix и Al, есть тензор вида Az . Это положение можно доказать, пользуясь тем, что закон преобразования произведения аналогичен уравнению (23.3).
Общее название тензора включает в себя векторы (тензоры первого ранга) и инварианты нлн скаляры *) (векторы нулевого ранга).
Тензор второго или высших рангов не непременно должен выражаться в виде произведения двух тензоров более ннзкнх рангов.
Простым примером тензора второго ранга может служить напряжение в твердом теле или вязкой жидкости. Слагающая напряжения, обозначаемая через Pxyi есть у-овая компонента давления на элемент поверхности, перпендикулярный осн х. Таким образом, каждая компонента связывается с двумя направлениями.
24. ВНУТРЕННЕЕ УМНОЖЕНИЕ И СОКРАЩЕНИЕ. ЗАКОН ЧАСТНОГО.
Умножив А на В', мы получим 16 величин ^1B1, AlBi1 A2B1, образующих смешанный тензор. Рассмотрим четыре «диагональных» члена A1B1, A2B2, AsB3, AiBi. На основании
*) Скаляр и инвариант—синонимы. Мы будем обычно применять последнее слово, так как оно более соответствует заключающемуся « нем смыслу.
г. Внутреннее умножение и сокращение
93
условия о суммирования A^Bv' представляет сумму четырех членов. Условие о суммировании ведет нас правильно, ибо каждый нз этих членов в отдельности не представляет для нас интереса, так как они не образуют вектора, но их сумма имеет большое значение.
AiJBf называется внутренним произведением двух векторов в противоположность обыкновенному или внешнему произведению А В\
V-
В прямоугольных координатах внутреннее произведение имеет тот же смысл, как н скалярное произведение, определяемое в общеизвестной элементарной теории векторов; но внешнее произведение отнюдь не является так называемым векторным произведением элементарной теории.
Подобным же образом нз любого смешанного тензора A1 можно образовать «сокращенный» тензор Aa^, который будет на два ранга ниже первого, так как о превратилась теперь в немой значок.
Для доказательства того, что А есть тензор, мы положим в (23.3) T = з:
Aa = <4 дх9 дх.( дх;
^ дх дх' дх' дх~ “Рї"
дх дх'
Оператор подстановки изменяет у A0a^ зна-,ск S
a S
на 7 на основании (22.4). Отсюда
дхп дха
л'1 _ _____L_____L_ Al
дх' дх «PT'
1Л V
Сравнивая полученный результат с законом преобразования (23.22), найдем, что A^m есть ковариантный тензор второго ранга, так как немые значки 7 и о очевидно эквивалентны друг другу.
Точно также, полагая в (23.23) v == [J-, будем иметь
дх дх '
A’* = -S-It-^A9=Aa =Av-,
Ij- дх дх,, “ ° V-5
т. е. не изменяется при преобразовании координат и, следовательно, есть инвариант.
Тензорное исчисление
Таким же способом можно показать, что выражения AA4^Bf являются инвариантами. Вообще, при равенстве верхнего и ннжнего значков соответствующие величины перестают быть ковариантными и контравариантными. Еслн таким образом уничтожаются все значки, то выражение должно быть инвариантным.
Одинаковые значки должны находиться в противоположных положениях; например, выражение A33 не есть тензор, а поэтому и не представляет для нас интереса.
Итак, мы видим, что значки соответствуют свойству, которое нами было названо обобщенной размерностью членов уравнения. После вычеркивания всех значков, которые встречаются в обоих положениях — верхнем и нижнем, оставшиеся значки должны находиться в том же самом расположении в каждом члене уравнения. Если это условие удовлетворено, то каждый член подвергнется одним и тем же операциям при преобразовании координат и уравнение будет удовлетворяться в любой системе координат. Это можно сравнить с хорошо известным условием, что каждый член должен иметь одну и ту же физическую размерность, следовательно, при изменении единиц должен быть умножен на одни н тот же множитель, если уравнение остается справедливым при всякой системе единиц измерения.
