Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Необходимо отметить, что если мы возьмем силу (X, F, Z) и преобразуем ее к полярным координатам в виде ковариантного или контравариантного вектора, то ни в том, ин в другом случае у нас не получится величин, аналогичных полярным компонентам силы в элементарной механике. Последние, с нашей точки зрения, не являются истинными полярными компонентами, а представляют собой лишь прямоугольные компоненты, HO в трех новых направлениях, именно радиальном н поперечном. Вообще говоря, при элементарном рассмотрении физических величин применяется только прямоугольная система координат, и поэтому иногда бывают необходимы некоторые дополнительные сведения для того, чтобы решить, будет ли данный физический вектор
22. Условие о суммировании
89
ковариантиым или контравариаитным. Таким образом, если сила определяется как «масса на ускорение», то она оказывается ксвгравариантной, если же ее определить при помощи равенства: «работа = сила на перемещение», то сила будет уже ко вариантным вектором. В последнем случае мы, однако, должны отказаться от метода разложения силы на косоугольные компоненты, принятого в элементарной механике.
В последующем изложении будет, вообще говоря, достаточным иметь дело лишь с математическим понятием вектора. Некоторое представление о физическом понятии вектора будет вероятно способствовать более глубокому пониманию разбираемых вопросов, но не является необходимым для формального изложения доказательств.
Условимся в случае, когда в данном выражении один и тот же буквенный значок встречается дважды, производить суммирование по всем его значениям от 1 до 4 *). Например, выражение
(2.1) может быть переписано так:
и так как здесь Ji и v встречаются дважды, то этим самым указывается на то, что нужно произвести суммирование
4 4
It=I V=I
Написав это полностью, получим (2.1, Точно так же в уравнении
суммирование справа производится по а (но не по [і, которое встречается лишь один раз).
Это уравнение эквивалентно (19.2).
Указанное условие оказывается полезным не только как сокращение, оно приносит громадную пользу при общем анализе, подска-
*) Отметим, что это правило относится не только к тензорам, но к любым выражениям, в которых встречаются значки, и применяется независимо от положения значка. (Я.)
22. УСЛОВИЕ О СУММИРОВАНИИ.
(22.1)
90 Тензорное исчисление
зыпая почти всегда нужное направление. Б наших исследованиях будут встречаться случаи суммирования, не нуждающиеся в нашем запоздалом одобрении.
Заметим здесь полезное правило. Всякий буквенный значок» встречающийся в каком-либо члене дважды, является «немым» и может быть заменен на любую другую букву, еще не имеющуюся в этом члене. Два или большее число таких немых значков можно менять местами *). Например, помня, что д^ = димеем
д^ха Ote3 O-Xri Oterj
^ дх ' дх ' дх' дх ' дх' дх' !
ц v Л ц. ч к
что получается после перемены местами немых значков а и сЗ. В виде дальнейшей иллюстрации докажем, что
дх дх dx
¦ 0, если и ф
V
дх/ dx,t dxt ! ' ( (22.3)
= 1, если [A = V
Если правую часть этого уравнения написать полностью, то получим:
дх дх, дх дх,,' дх дх/ дх дх/
У-______]_ I________Ii_____f_ I jj- J J_______L________.
"I / T
дх/ Oxt дх/ ote( дх./ дх: 1 дх/ (Jxi ’
а это выражение, согласно обычной теории, дает изменение дха) соответствующее изменению дХг Ho х^ Ti хч являются координатами одной и той же системы, так, что их изменения независимы; таким образом, dx равно нулю, если только жа и х не будут одной и той же координатой, когда конечно dx = Ac . Таким образом, теорема доказана.
дх дха'
Множитель играет роль оператора подстановки,
Я -і
т. е. если А (|х) есть любое выражение, в которое входит значок а, то
(f'T, Яо* ’
-^-AW = A(V). (22.4)
а ч
В самом деле, суммирование левой части по ^ дает четыре
*) Сперва мы будем обращать внимание читателя на такие замены в каждом частном случае, надеясь однако, что в дальнейшем он привыкает к этому приему, как к одному из простых математических преобразований.
23. Тензоры
91
члена, соответствующие значениям = 1, 2, 3, 4, причем v равно одному из этих значений. Обозначим три остальные значения через а, т, р. Тогда, на основании (22.3), получим
1 ¦ A (V)-I-O • А (о) —I—0 • А (")—|—0 • А (р) = A (v);
следовательно, умножение выражения на оператор подстановки соответствует замене в нем а на v.
23. ТЕНЗОРЫ.
Приведем еще раз оба закона преобразования, данные в п. 19: для контравариантных векторов
дх '
(23.li)
а
для ковариантных векторов
дх
А' = ~-\А. (23.12)
Y- дх * ' 7
F-
Мы можем обозначить через величину, состоящую
из 16 компонент, которые мы получим, придавая ja и v независимо друг от друга значення от 1 до 4. Точно также .4 имеет
64 компоненты. Обобщая вышеприведенные законы преобразова-
ния, можно произвести классификацию подобных величин следующим образом: контравариантные тензоры
дх дх ' „
А*1 =AaH (23.21)
дхп дх„
а р
ковариантные тензоры
