Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
107. Теория относительности и кванты
981
няет две теории, но выясняет также смысл явлений в пограничной области, чего до сих пор не была в состоянии проделать ни одна схема. В частности, уравнение Дирака позволяет теоретически вычислить три фундаментальные постоянные: 1) постоянную
«тонкой структуры» 2) отношение масс электрона и про-
тона, 3) космическую постоянную. Так как эти постоянные определены также опытным путем, то мы имеем определенную экспериментальную проверку новых идей о природе массы и электрического заряда.
Уравнение Дирака вводит волновые символы Ф , ®а, которые хотя и имеют по четыре компоненты, ’ не преобразуются однако подобно векторам или каким-либо тензорам обычного тензорного исчисления. Хотя уравнение Дирака содержит эти невекторные величины, оно является все же инвариантным относительно преобразований Лоренца. Проф. Ч. Дж. Дарвин возбудил мой интерес к этому вопросу, отметив, что обычный тензорный анализ обладал серьезным дефектом, не включив в рассмотрение вопроса об инвариантности величин подобного рода. Действительно, тензорный анализ был специально придуман для рассмотрения вопросов инвариантности, и его основным принципом является, что для того, чтобы быть инвариантным, уравнение должно быть непременно тензорным.
Причину этого дефекта в тензорном анализе можно уяснить себе, вспомнив рассуждения пп. 20, 21, в которых мы различали понятие математическою и физического вектора. Первоначально тензорный анализ был исключительно математической теорией; мы связали его с геометрией и, следовательно, с физикой, отождествляя тензор, являющийся отправным пунктом теории (контравариантный вектор) со смещением (dxY. Это отождествление было охарактеризовано нами как «несколько произвольное». Теперьоказы-вается, что именно подобный способ отождествления и сделал обычный тензорный анализ непригодным для трактовки атомных явлений.
Поэтому я развил новый тензорный анализ, в котором основными векторами (контравариантным н ковариантным вектором) являются дираковские величины и ® . При помощи последних мы можем определить тензоры Bbiciifero ранга. Эти новые тензоры называются волновыми в отличие от тензоров старого тензорного анализа, которые мы будем называть пространственными.
Теория относительности ^1
ш
Теория относительности и кванты
Волновые и пространственные тензоры связаны друг с другом весьма любопытным образом. Мы можем образовать систему шестнадцати матриц из четырех строк и колонн каждая, обладающих следующими свойствами: 1) все они являются корнями квадратными из —1, 2) все матрицы попарно коммутируют или анти-коммутируют друг с другом, согласно некоторой специальной схеме, которую я не буду здесь приводить *). Обозначив ЭТИ матрицы через , можно показать, что любая матрица Т, состоящая из четырех строк н колонн, может быть выражена в виде:
16
‘,Л» (1)
1
где t —алгебраические коэффициенты.
Волновой тензор второго ранга и является подобной матрицей, так что мы можем охарактеризовать его 16 компонентами f , полученными указанным образом. Мы можем затем доказать, что еслй T есть смешанный волновой тензор второго ранга, то его компоненты t образуют пространственные тензоры. В действительности эти шестнадцать компонент дают нам два обычных пространственных вектора, один антисимметркческий тензор второго ранга (шестивектор) и два инварианта.
Таким образом, когда мы достигли волновых тензоров второго ранга, мы можем перейти к пространственным векторам и следовательно включить все тензоры обычного тензорного анализа в общую схему, построенную на волновых векторах. Мы должны только пользоваться при этом разложением (1), которое является совершенно чуждым обычному тензорному анализу.
Легко доказать, что волновое уравнение Дирака действительно является тензорным уравнением в тензорном волновом анализе, но не в обычном исчислении пространственных тензоров. Эю обеспечивает его инвариантные свойства.
Полное изложение нового исчисления волновых тензоров заняло бы слишком много места. Я оставлю в стороне математический аппарат теории и постараюсь указать общую идею его физических приложений. Волновой вектор для сложной системы из двух зарядов является величиной с двумя значками 4^. Если бы два заряда были совершение независимыми и не взаимодейство-
*) Cm. Jonrnal London Mathematical Society, 7, 58, или Proceedings of the Uoyal Society 133, 311.
107. Теория относительности и кванты
вали друг с другом, ^ было бы просто произведением отдельных волновых векторов; но в случае взаимодействующих зарядов мы можем только сказать, что 4в3 есть ковариантный волновой
ствующим волновым уравнением. Это волновое уравнение можно написать в виде:
где Il 4 — 0, H'Y = 0 будут волновыми уравнениями для двух отдельных зарядов, a I есть член взаимодействия, выражающий взаимную электростатическую и электромагнитную потенциальную Энер1 ию.
Для того чтобы трактовать величину с двумя значками Ф тем же методом, как мы рассматривали величину с одним значком 4,. нам нужны две системы по 16 матриц, и . Соответственно этому OfSnjiifl смешанный тензор 4-го ранга T может ^>ыть разложен на 256 компонент f , где
