Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
P 1
-Mt = Bt = -=. (5)
* у\ w
Полный объем сферического мира равен 2тг2аД откуда плотность ре = д—-g- = , что согласуется с ранее найденным резуль-
татом. Масса измеряется здесь в гравитационных единицах, в которых масса солнца приблизительно равна 1,5 км.
Из (2) имеем
/'cfo\2 I ,, , . 1 AM
[it) +1 = T ^ 8ltp> - T а~1 + 3^’
откуда
da Г1 „, , . AM
— =-$/ -„-«П — 1-Ьо---------• (6)
dt у 3 1 Зтса ' >
Возможны три случая;
а) Если M >- Mj, то правая часть не может обратиться в нуль,
при каком-либо положительном значении а и система может
неирерывно расширяться от очень маленького до очень боль-
da
шого радиуса. Минимум величины — найдем, дифференцируй (6)
(tt
HO G,
2 . AM
1 “Л ~ з^’
47 О
О неустойчивости сферического мира Эйнштейна
откуда
или согласно (5)
Когда радиус, увеличисаясь, проходит через Это значение а, то скорость расширения замедляется и затем опять увеличивается.
Трудность в допущении этого решения состоит в том, что оно повидимому требует внезапного и непонятного начала всех вещей.
b) Если M •< Me, то правая часть обращается в нуль при двгх положительных значениях а, например R1 и, R2, и делается*мнжк 'й для значений а, лежащих между R1 и R2. Таким образом, или мир, начиная расширяться с конечной скоростью, достигает радиуса R1 и затем опять сжимается, или, начиная сжиматься с конечной скоростью, сжимается до радиуса R2 и затем расширяется опять. Для реальной вселенной трудно найти естественную начальную точку в данном случае.
Если мы решим принять случай (Ь), то это как будто приведет нас к тому, что действительная вселенная вначале имела ра-
D П
диус K2, и, следовательно, мы имели первоначально — = О; затем вселенная непрерывно расширялась.
Если а—> R2, то ~т-—*0 так же, как и Ya—и) еледова-а%
тельно радиус мало отличается от R2 только в течение конечного промежутка времени. Взяв за нынешнюю скорость расширения любое из значений, лежащих в разумных границах, мы будем неприятно удивлены, найдя для возникновения вселенной весьма недавнюю дату.
c) В предельном случае И — Me, как в п. 106.5. Тогда R1 и R2
da
совпадают с ае. Если то также, как и (а — ае); сле-
довательно, время, в течение которого радиус мало отличается от ае, будет логарифмически бесконечно.
Здесь мы находим, по крайней мере, философское удовлетворение, видя, как мир начал развиваться бесконечно медленно
106.7 Возможность видеть вокруг мира
471
из первоначального однородного распределения в неустойчивом состоянии разновесия. Поэтому этот случай наиболее привлекателен. Ho в физике логарифмические бесконечности обычно бывают обманчивы и в практических применениях оказываются совсем не такими уж большими. Я не думаю, чтобы мы очень Значительно увеличили действительный возраст галактических систем по сравнению с случаем (Ь), принимая M — Me. Мм допускаем, что эволюция началась бесконечно давно, ио, начавшись на самом деле, она, оказывается, требует срока не столь отличного от случая (Ь).
При M = Mf уравнение (6) можно проинтегрировать, не пользуясь эллиптическими функциями. Довольно сложный результат приведен в статье Лемэтра [уравнение (30)].
7. Возможность видеть вокруг мира. Вопрос, дебатировавшийся, пожалуй, больше благодаря своей оригинальности, чем благодаря практическому значению, заключается в том, можно ли видеть вокруг всей вселенной.
Хорошо известно, ЧТО ЭТО возможно в мире Эйнштейна и невозможно в мире де Ситтера. Расширяющаяся вселенняя Ле-ыэтра принадлежит к промежуточному тину, и любопытно, что ответ, который оиа дает, также является половинчатым. Мы можем видеть все части мира, но не очень вероятно, чтобы нас можно было видеть из всех частей мира.
Мы получим траекторию светового луча, полагая ds = Ou (1). Поместив себя в начало координат у = 0 в момент времени t0, мы будем находиться на траектории луча света, уравнением которой будет
0= —a2 d/~-\~dfi, так что для прошлого (события В ъ *> которые мы видим теперь)
%
(7)
t
и для будущего
t
' dt
'L-
•=|т-
•у
Так как в прошлом а всегда было меньше, чем в настоящем, то / в (7) беспредельно увеличивается, если сю.-следовательнв
472
О неустойчивости сферического мира Эйнштейна
мы можем увидеть что-либо вокруг мира много раз, если мир существовал достаточно долго. В будущем а будет непрерывна увеличиваться со все возрастающей скоростью и возможно, что интеграл (8) будет стремиться при t —> со к конечному пределу, меньшему чем
Лемэтр, воспользовавшись астрономическими данными, вычислил, что это так н есть на самом деле. Наблюдатели, для которых координата х меньше этого предельного значения, не смогут никогда увидеть событий, происходящих сейчас в нашей галактике; они видят более ранние события, но их бесконечное время жизни дает им возможность следить за нашей историей только вплоть до некоторого момента, когда скорость увеличения радиуса мира делается слишком большой.
Или иначе, скорость света в некотором угле (т. е. в доле всего замкнутого пути вокруг сферического пространства) уменьшается при увеличении радауса пространства. Сперва, когда радиус мал, световая волна может сделать несколько полных оборотов, но в конце концов для нее становится возможным только асимптотическое приблизкение к некоторому определенному иоложеиию.
