Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(24)
ПРИЛОЖЕНИЕ К НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ
105. ТЕОРИЯ ЭДДИНГТОНА И ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА.
Проф. Эддингтон и проф. Курант побудили меня добавить к немецкому переводу ЭТОЙ книги небольшое приложение о применении принципа Гамильтона в теории Эддингтона. Я охотпо иду навстречу этому предложению, хотя в пользу ВЗГЛЯДОВ, которые здесь будут изложены, я и не могу привести никаких аргументов, кроме того соображения, что они в рамках идей Вейля — Эддингтона представляются вполне естественными.
Будем исходить из основных идей Эддингтона, заключающихся в том, что все величины теории поля так же, как и их естественные связи, должны быть сведены к закону аффинной связи, т. е. к величинам ГJv, определенным формулой (92.1). В и. 92 уже было показано, что существует инвариантный интеграл, у которого подинтегральная функция есть тензорная плотность Н, зависящая только от I* и их первых производных. Естественно поэтому попытаться вывести законы поля из вариационного принципа, в котором такой интеграл вариируется по Г1 как независимым переменным. Проделав эти вычисления, мы придем к несколько иной, чем у Эддингтона, формулировке связи между величинами Г и метрическим полем, определяемым величинами д .
Пусть H есть тензорная плотность, зависящая только от величин Г и их первых производных. Пусть далее для каждой вариации Ґ , обращающейся в нуль на границе рассматриваемой области, выполняется условие
Альберт Эйнштейн.
(1)
где di = dx^lx^lx^lxу
45S
Теория Эддингтона и принцип Гамильтона
Прежде чем выводить следствия из этой аксиомы, мы допустим произвольное в логическом отношении ограничение. Мы предположим, что скалярная плотность H зависит от величин Г не наиболее общим мыслимым образом, т. е. образована из (92.41) не произвольным образом, но исключительно при помощи сокращенного тензора *G (92.42), т. е. из симметричной и антисимметричной частей этого тензора:
і /sr., Si
V— +І-h<7-4-*r J ~ПА- <*>
а \ ч [а '
1 (дґ дГ\
В соответствии с этим предположением мы получим вмссто(І):
j (g"' 3V + f" S? J d * = О, I (a)
где
-I**
дН
dra
» IA1V
В (Ia) нужно выразить Sfili и 8® с помощью (2) и (3) через Г, и оГ°(. Принимая во внимание, что 40 вариаций о Г* можно выбрать независимо друг от друга, мы получим из (Ia) 40 уравнений:
—ЇЧ*”)Л—I-I"»:—г1"8;=0- <1Ь)
При ЭТОМ мы ввели тензорные плотности
= ¦д-?- + + ^ Г«’ (5)
dV
T
(6)
40 уравнений (Ib) позволяют выразить 40 величин Г” через g114, F4 и их производные. Чтобы сделать это, необходимо от контравариантиых тензорных плотностей перейти к контравари-
105. Теория Эддингтона я принцип Гамильтона 459
антным тензорам, а от них к ковариаитным. С этой целью определим тензоры и д посредстьом уравпений:
ич і Г им
9 V —9 = g ,
9^9 =V
(7)
и, далее, векторы г и * посредством уравнений
г >
(S)
тогда после элементарного вычисления *) получаем
Г I ±„ i’JL
2 Ylkc dx dx~ J 2 '
\ V JJL 3 /
4-4-3’i (Ic)
I g |1 > I 6 1 Sj- ' ’
Этот результат ясно указывает, что д можно рассматривать как метрический теизор. Выражение для Г“^, получающееся из вариационного принципа, имеет большое сходство с тем, которое получается из теории Вейля; здесь также на ряду с метрическим тензором появляется четырехмерный вектор.
Уравнения поля для д и f1*4 уже заключаются в полученных результатах, если выбрано определенное выражение для гампль-
*) Сначала мы получаем, сокращая (Ib) по значкам v, a: —
= —~ і1.*, откуда вместо (Ib) можем написать:
О
(S’”). + 4-111?+4 ^незаменим здесь (g^'). нх выражением (5). Теперь можно с помощью первого из уравнений (7) перейти к коитравариантной форме:
і |xj р) і rv. г I -u I I pa і ‘J-ч f ^ Ig У 0 pj \ .
~d7~ + ^ '« +9 ^ + T1 °« + T г V + 9 {-----------------------------------------------------------SI aeJ ¦
: о.
Умножив на S114, мы увидим, что выражение в скобках в последнем не равно —g- Переходя к ковари тельио мы и получим уравнение (1с).
1
члене равно —g-v Переходя к ковариантиым значкам и решая относи-
4 60
Теория Эддингтона и принцип Гамильтона
тоновой функции Н. Уравнения эти получаются из выражений (2) и (3), если выразить их правую и левую стороны через и f1'. Для’правых сторон это дает уравнение (1с), для левых сто-рон—уравнение (4). Действительно, если H задано как функция Ylt4 и <э то можно с помощью (4) выразить Yfiv и ср через g^' и fF' и результат подставить в левые стороны (2) и (3).
Однако, поскольку речь идет о левых сторонах уравнений (2) и (3), мы придем к цели проще следующим образом. Так как мы до сих пор не сделали еще никакого предположения относительно выбора скалярной плотности H как функции Y и <р, то уравнения (4) выражают не что иное, как то, что выражение
есть полный дифференциал (по отношению к переменным
Y и Wji4). Этому эквивалентно утверждение, что выражение
Y 4- cP d fl”
{А V о I JJ-V
<!сть также полный дифференциал, так как оно отличается от предыдущего только тем, что теперь мы, обратно, Yliv и <рл рассматриваем как функции от g1*' и. f1". В таком случае наш результат означает, что существует функция Н* от g^v и F4,
