Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
- Ш 8 <",• Г)--------к <*¦„« F'- + Л,. Sg'’) =
-Л.*Г+
Если положить а отсюда следует:
Новая теория Эйнштейна 32тиХ, то в силу соотношения д t 3 g1*' = 23 ]/"— д
1
16
О (-с: У-д + Fv Fn = X, 8 P114•
(IG)
Эйиштейи замечает, что каждой плотности К можно сопоставить другую ПЛОТНОСТЬ К') определяемую выражением
Эта «видоизмененная» *) плотность вряд ли в меньшей мере является основной, чем нервоначальная плотность. Из (1) и (17) следует
Если сравнить (16) и (18), то мы получим окончательный результат Эйнштейна:
Член с а в Kr, представляющийся очень нскусственгмм усложнением выражения для К', нолучается из космологического члена с X в выражении энергии. Мы получили бы более простой результат, если бы могли отказаться от космологического члена и вернуться к первоначальному незамкнутому пространству Эйнштейна. Так как 1
X = -j- R, то отсюда следовало бы, что R = O.
Гамильтоновы производные по повидимому представляют собой величины, имеющие для структуры мира основное значение; что же касается гамильтоновых производных ио д и , то они должны давать такие величины, которые имели бы значение, если бы мы считали содержанием мировых событий деятельность электромагнитного процесса в пассивной метрике д . Эйнштейн использовал такие вариации, которые приспособлены к его цели — формулировке господствующего закона мировой структуры; автор употреблял другие вариации, так как он стремился получить основные величины, появляющиеся в обычной физике.
*) Ср. замечания, связанные с формулой (101.33). (Я.)
(17)
(18)
\
104. Новая теория Эйнштейна
455
Если искать скалярную плотность идеальной простоты, то было бы трудно указать что-либо другое, кроме обобщенного объема (101.13). Поэтому мы сейчас исследуем, что получится, если мы в качестве К возьмем величину У — I *6? | *).
Так как при этом К есть однородная квадратичная (но иррациональная) функция величин *G , то из (17) следует
К' = К — 2К = — К. (19)
Если, далее, положить A = IilGvI, то мы получим
1
P = -------,-----• минор G .
^ 2 / — Д
На основании известной теоремы детерминант, составленный из миноров, имеет значение Д3. Поэтому
A8 '1
JllV
Г Д.
16Д2 16'
Отсюда следует
1 K = VHj^7I = l/_|g^+F^ I = 1^_|V + FJ. (20)
4
Последнее уравнение получается совершенно так же, как уравнение (49.9).
Итак, мы видим, ч-о хотя физические тензоры у Эйиштейна и у автора отождествляются различно, обобщенный объем в обоих случаях отождествляется (с точностью до численного множителя) одинаково, и произведенное в п. 101 преобразование К применимо также и здесь. Мы вводим множитель X, чтобы иметь возможность употреблять обычные единицы длины вместо неизвестной естественной единицы; если пренебречь четвертыми степенями F , то мы получим по (101.31):
-I-'К- (>'2 + V-
или
_ К'= 4 К»-f-F^F1". (21)
*) Эйнштейн первоначально исходил из обобщенного объема и пришел к уравнениям (5). Ho в его третьей работе те же уравнения были получены независимо от вида К, так что обобщенный объем оказался несущественным. (H.)
456
Новая теория Эйнштейна
Это отличается от прежнего отождествления К* только коэффициентом при у_____д, и мы таким образом совершенно естественно
получаем член, соответствующий космологическому члену в выражении энергии. Ho этот член стоит здесь с неправильным знаком *).
Следующие рассуждения указывают правильный способ устранить это затруднение со знаком. Обобщенный объем составляется из определителей
Это выражение также представляет собой квадрат скалярной плотности, но не является детерминантом **).
Новое выражение А' ие менее естественно, чем" А. Чтобы получить член, квадратичный относительно F i мы должны взять два из четырех множителей ..из которых соста-
вляется Fix4. Очевидно из шести возможных комбинаций две дадут
знаки квадратичных членов в А и А' противоположны, так что, заменяя А на А', мы получим нужный нам знак ***).
Таким образом мы приходим к следующему заключению. Если предположить, что естественные метрические и электромагнитные единицы таковы, что четвертой степенью электромагнитной силы можно пренебречь, то вся система законов поля (кроме определяющих уравнений) содержится в условии
для всех бесконечно малых вариаций аффинной связи, обращающихся в нуль на границах области.
Ho насколько я могу судить, естественные единицы не удовлетворяют этому предположению (п. 102), и четвертые степени, которыми мы здесь пренебрегли, могут повести к дальнейшим усложнениям. ___________
*) Разница в абсолютной величине коэффициента не имеет значения, так как она уравновешивается произволом в выборе единицы для F^x4.
**) На это иыраженпе обратил мое внимание проф. Р. Вейценбёк.
***) Мне указали, что эти соображения еще недостаточны, ибо Д связано через свои миноры с величинами F^4, тогда как для Д1 нужно было бы произвести непосредственное вычисление вариации (24), которое, однако, очень громоздко.
(22)
Пусть
(23)
одинаковые знаки А и А', а четыре — различные. Поэтому и
