Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Эйнштейн отождествляет с суммой тензорных плотностей симметричного и электромагнитного поля, образующих симметричную и антисимметричную часть Pli', т. е.
P^ = -J-F1". (6а)
Это аналогично предложенному автором отождествлению *G с ? -jно, очевидно, не совпадает с ним. Так как теперь F отождествляется посредством (6а), то для антисимметричной части необходимо ввести другой символ, например Ф :
= + V (6Ь)
Из (4) следует, что антисимметричный тензор Fli4 удовлетворяет соотношению
rl Fit3
<Г')'=-±Г = Р,
где J*1 есть вектор; поэтому (5) дает
2 ). - з: ю, - §r (g1), - si * - к г=о. (?)
Если произвести сокращение, полагая v = a, то получим
— 3(Г*)« — ^ = O,
так что (7) принимает более простой вид
(^). + 48^ + !-8^ = 0- (8)
Если сравнить это с ковариантными и аффинными производными в (93.91) и (ЭЗ. 92), то получим
(sTX “ §Г=5L gv -f Set Г* - g1", (9)
104. Новая теория Эйнштейна 4Ы
где, как и в (93.6),
в;,=с-И“}- сю)
Так как коваріантная производная g?v от g1*' равна нулю, то,
перенося в (8) и (9) значки вниз и деля на величину Jzr— д}
входящую в выражение илотности, мы получим
I 1
5Vv1 и. 5V, V— V ^ +¦ “3" 9*1 jT ~Y V Jr4 = 0, откуда, после умножения на д^}
Следовательно
Ili
5 ,4-5------zr 9 J H—т~ 9 J -\~-*г9 J = 0.
«V J*» I «р., V ^ ji.v a I 0 п [д. I ^ ^ajx v
Если решать этн уравнения относительно тензора S, то мы получим *):
111
5 =-^д J —I—п~д J--Z-Q J .
[хч, a ^ •? о.ч jx 1 A ^ajx м Ijlv *
С помощью (10) мы выразим теперь коэффициенты аффинной связи через обычные физические величины:
с=и “)+-§"^чT^je- (1 Г)
Если подставить эти значения в (92.42) иди (94.3), то после простого вычисления **) получим:
ф = _____________djSL
Ij-'' 6 ^ Ox, дху.
(12)
*) Если подвергнуть значки а, ч, ц циклической перестановке и сложить три получающиеся при этом уравнения, то вследствие симметрии Sa4j относительно а, V мы получим
1
Solv, |і + *’(«, м + Sm, « = “ ¦g" + SliaJ, + З^оЛ
а отсюда и из вышенаписанного уравнения следует
V . = J 9„ ^ + 4 V - {їр 'К- (Я.) (H)
**) Вычисление производится следующим образом. Если сравнить (94.‘2) с написанным выше выражением для , то для вектора Xji получаем
Г
V ' 6 Iі*
Поэтому выражение (94.62) дает для тензора, обозначенного тенерь
29*
452
Новая теории Эйнштейна
Таким образом мы выразили *<? через обычные физические переменные.
Дальнейшее исследование зависит от предположений о частном виде функции К- Вспомним, что принцип действия Вейля привел к двум законам природы, выраженным формулами(90.61) н (90.71). Если считать вероятным, что эти законы являются действительными законами природы, то необходимо попытаться отождествить К таким образом, чтобы те же законы вытекали її из рассматриваемой теории. Первый шаг заключается в Tomj что мы приведем формулы Вейля в связь с употребляемыми теперь символами. Если, в соответствии с соображениями стр. 394, положить р = *), то эти формулы принимают вид:
Л~ (13)
X
4 т:
T
M X х —4- Sr JJ"). (14)
^ 4тг \ Iі '' 2 V-'1 iJ 3 \ ^ 4 2 V-'1 ® / v >
через Ф^, вторую формулу (12). Чтобы вычислить например H^1 из (94.61), мы исходим нз выражения
111
* ,а а г і „я т 1 г1*
'V- = т-9Vi7^ir
вытекающего сразу из формулы, выведенной выше для SV,, «. Прежде всего, вследствие равенства (Ja)0 = 0 (ср. (73.78), мы имеем
(j^ + + •
Ho для четвертого и пятого члена в (94.61) следует
** *1, = + 'j - і V-1
К'і = (if 9* jP + Ir 9 Э ^ ~ T 9>J*) (I 9I j’’ + TT 3* jV- ~ Ti J‘’) =
= ZfJ- , J, J_ _L < ,Mj j =
1,6-6 + 6-6 + 6-6 1 6-6 6-:2 2-6 + 2-2/ i* '
__ ! I , I \ j Л_______ 5 I . n
- ~ V(T2 + 2T6 I 9^ j? j - 18 1V' - ж V J* J ¦
Если вставить эти значения в (94 • 61', то получим сразу первую формулу (12). (Я.)
*) Действительно, если отказаться от употребления «естественных» гравитационных и электромагнитных единиц, то оказывается возможным с помощью соответствующего выбора единиц сделать равной единице
постоянную , которая, как указано на стр. 315, характеризует отношение
этих единиц. (И),
і 04. Новая теория Эйнштейна 45.?
Поэтому из (12) следует:
+т(^.“т^-)}=-Ц\,-4мя—21))-
Эта разность между полным тензором энергии и тензором Энергии, относящейся к электронам, должна представлять тензор Энергии Максвелла E .
Следовательно
Так как E = 0, то сокращение дает R = 4 А. Далее из (12) и (13) следует
1 (д Xli д ¦/., \ 1
8тг \ дхч дху.) 8-it ^
Поэтому формулы Вейля (103.51) и (103.52) соответствуют уравнениям
E = — SrJR -Xg ),|
V {j.-j ^ I
F == —8тгФ .
P-V (IV
По мы имеем
(15)
8 (*;, ^= ( 9^9"3 ) 8 (Fli'' F"3) -{- FlivF013 8 ( 9\^9^ }
^ \V — 9* \V—9/
или, согласно (35.12), (35.3) и (77.2), = SF^ +VF*4
p^vpcp / ^ ^ „ 1 Л „X
+ -7= — 9^ 9„ 9^ о 9 — 9,? 9^ 9ЛХ »9 +"р 9^ 9.л 9„ 5 9 ):
F — 9 \ J
= 2 (Fv 8 F^+ Езт 8<Г).
С другой стороны, из E = Ejt g*~ = 0 следует:
8 s’ = Е1, V — 9 8 0" + Е'_ д°~' 8 / — д = Es. 8 •
Поэтому мы получаем
