Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
член ^Xf X4---х^х* j соответствует именно этому последнему
изменению. Если это верно, то ничто не мешает нам отождествить Jd1*4 с действительным тензором материальной энеРгии.
101. ОБОБЩЕННЫЙ ОБЪЕМ
Предположим теперь, что *<? и есть тот материал, из которого нужно построить физический мир; в таком случае, нам надо найти простейшие инварианты, которые можно образовать с помощью этого тензора. Значение слова «простой», конечно, весьма неопределенно и в некотгрой мере зависит от наших взглядов. .Ддг. распределения по степени простоты я выбираю ту последовательность, в которой различные величины появляются при по-ст{к>ении физического мира из основного материала *G^. Еще до введения процесса калибровки, с помощью которого мы полу-ччем h потом (прн помощи более или меаее сложных вычислений с детерминантами) и дl^, мы можем построить иа-инва-рнанты, относящиеся соответственно к одномерным, двухмерным и четырехмерным областям.
101. Обобщенный объем
1. Для элемента линии (dx)v' простейшим ин-инвариантом будет
' G^i (dx)* (dx)‘, (101.11)
который физически проявляется как квадрат длины.
2. Для элемента поверхности простейшим ин-инвариантом
является
*G dST, (101.12)
H*v
которому можно придать физический смысл потока электромагнитной силы. Заметим, что этот ин-инвариант, хотя формально и относится к элементу поверхности, зависит в действительности только от свойств контура, ограничивающего элемент поверхности.
3. Для элемента объема dz простейший ин-инвариант есть
V=Y-I-G1Jdz,
(101.13)
который был нами назван обобщенным объемом, но до сих пор еще не получил физической интерпретации.
Вычислим сначала формулы
GJ в галилеевых координатах *). Из
*G
|Л.Ч
Xg 4-1?
° [AM I |J.V
следует, если вставить галилеевы значения для д и F
IlV I
— X —Y Y — Ь -P «
X Y
-а
-X
Z
-X
-Y
-Z
X
{ХІ-4-Х2 (a2-|-[32_|_Y2 —Х2 —72 — Z2).
— (а A’-f- ,ЗУ -f T Z)2).
(101.2)
Отношение употребляемой здесь абсолютной единицы электромагнитной силы к практической единице до сих пор не известно, 1.0 те поля, которые мы употребляем при лабораторных опытах,
*) Иначе говоря, мы вводнм координатную систему, которая будет канонической в точке P (ср. п. 36), и в которой, следовательно, значения д в точке P являются галилеевыми, и кроме того ограничиваемся такой областью вокруг точки Р, в которой можно с достаточной точностью считать вели-
(Я.)
в 32 Геометрия мира
должны соответствовать малым значениям Fiiv *). Если это верно, то можно пренебречь четвертыми степенями F и мы получаем приближенно
V = V^rVr(Tl) d т = J X2 ¦ A- (a2 -f -f Г2 — -Y2 — I'2 — Z2) J d 7,
пли, в силу (77.3),
= (>• :- [л.р'Ц
Так і ак і есть инвариант, то мы сразу можем написать результат д я любой другой координатной системы, именно
Г = (/2 + -I F v F^ ) V~g th. (101.31)
или, при естественной калибровке, при которой В = Ay ,
V = -I (/Jyi.. Rv' -і- Fv F1") V-Ddz =
= ] K=Tyfi:. (101.32)
Таким образом, если обобщенный объем есть фундаментальный ин-инвариант, из которого выводятся законы динамики, то нужно ожидать, что наши приближенные экспериментальные законы относятся к инварианту *G ‘G'11]/'—д dx, который при не очень сильных электромагнитных полях с большим приближением равен обобщенному объему.
В равенстве (100.5) мы приняли Л'= *Guv *GV!\ Перестановка
^1VL Il
верхних значков в G повидимому существенна, если —f--------------------
должно представлять материальную энергию (или равняться нулю в силу принципа действия Вейля). Если не переставлять значков, то гамильтоновы производные, кроме тензора полной энергии, будут содержать тензор электромагнитной энергии, тогда как естественно было бы придавать большее значение разности этих двух тензоров. Заметим, что.
I) (*G ‘О
‘G "tGv ==tG *Gr>— •/. -- f} '------- (101.33)
и.) (I/ ji-j J,
/ ач
*) Это впрочем не слишком очевидно, так как наше предположение не подтверждается вычислениями следующего параграфа.
101. Обобщенный объем
(причем вариации х^ принимаются в расчет лишь постольку, поскольку они влияют на F ) *). Поэтому представляется, что рассмотренный выше инвариант К выводится из F !посредством процесса исключения координат х. Уравнение (101.33) и представляет собой как раз обычный прием динамики, приаодящий к измененной функции Лагранжа **).
Если правильна та точка зрения, что инварианты, дающие обычно употребляемые в физике уравнения, в действительности являются лишь приближениями к более точным выражениям, построенным с помощью обобщенного объема, то должно оказаться возможным предсказание членов второго порядка, которыми нужно дополнить употребляемые обычно уравнения. Для пояснения достаточно будет рассмотреть исправлеиие уравнений Максвелла, к которому приводит этот метод.
Мы нашли в (79.32), что есть гамильтонова производная j ______________
от
__]f — д dx. Теперь же мы предположим, что У более точно есть гамильтонова производная от У — | *G | dz, ио х ***). Мы положим в основу галилеевы (или естественные) координаты; здесь удобно, затем, использовать обозначения п. 82, в котором іМьі писали (а, Ь, с) вместо (а, |i, f).
