Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Г* из (93.6) в (92.41), то получается
Первые четыре члена дают обыкновенный тензор Риманна~ Кристоффеля (34.4). Дальнейшие шесть членов сводятся к выражению
где последние значки означают обычное (не ин-ковариантное) дифференцирование, так как, например, по (30.4), имеет место
Эта формула делает очевидным тензорный характер в то
время как формула (92.41) выражала явно его ин-свойство.
Если мы теперь произведем, сокращение, полагая г = а, и напишем
то получим
-(«Р.+ (^Д,
Следовательно
Далее умножение на др дает
где
(94.5)
*) Здесь Sf означает д™
(Я.)
94. Вычисление фундаментальных ин-тензоров 409
Разница между (94.5) и (94.2) заключается в том, что X получена в результате приравнивания друг другу обоих симметричных значков, в то время как при образовании один из симметричных значков положен равным третьему значку тензора S. Конечно, и Xit совершенно различные векторы.
Единственный член в правой части (94.3), несимметричный относительно 'J. И V, есть 2TL .
і ’ (IV
Положим теперь
ярт=в,,+(%,+^-ф,). <Э4-Ы>
rC = V-No (94-62>
так что
tG = R 4-F , (94.63)
(XV (XV I (XV? ' '
где R^1 и F представляют симметричную и антисимметричную часть G . Очевидно обе величины
R
V-ч
= ІС& -г‘е )
O' jAV I
и F
(XI
2
CG —*G \
' (хм V11;
являются ин-тензорами. Если мы положим далее
*В =R +F ,
[AVtTC jj.v J? I jAVJS'
где R^im антисимметрично, t F симметрично относительно [Л и s, то после вычисления, которого мы не будем здесь приводить, получается
F = (К ) —(К ),
[AV0S 4 }АЄ, V'J N |AS, а 'Ч1
результат, который представляет интерес в связи с соображениями п. 84. Однако величины R и F не являются ин-тен-
JAV06 Л [AV58
зорами, так как при переносе вниз значков е были введены дич. Далее, из (92.5) и (93.6) следует
^(X-r^x- (Ixa) я} = ^ (SsV-Q)jT^v-' (94.7)
и-
Сравнение с (92.7) показывает, что функция О, которая там была неопределенной, здесь оказывается равной Ig У—gi и, следовательно, не является инвариантом.
ш
Геометрия мида
9". ЕСТЕСТВЕННАЯ лаЛИБРОВКА МИРА.
Введем теперь естественную калибровку мира. Теизор д к0. торый до еих пор оставался произвольным, должен быть теперь выбран так, чтобы длины смещений совпадали с теми дли-намн, которые дают измерения, произведенные прп помощи материальных к оптических приборов. Ho каждый прибор, употребляемый для измерения мира, сам представляет собой часть мира. Следовательно, естественная калибровка означает калибровку мира с помощью его самого. Эт0 может означать только то, что тензор д определяющий естественную калибровку, ие входит извне, но представляет собой тензор, уже содержащийся в геометрии мира. Мы нашли только один такой тензор второго ранга, именно *?? Следовательно, естественная длина определяется выражением
причем универсальная постоянная к вводится для того, чтобы иметь возможность вместо естественных единиц длины, отношение которых к обычным единицам неизвестно, употреблять сантиметр.
В п. 68 уже был в сущности рассмотрен способ, которым тензор R^ приводился в связь с измерениями, проделанными при помощи материальных приборов, на основании своего (предполагаемого) значения для структуры материи. Нам остается только Заменить тензор G^ ( который мы употребляли в этом параграфе, его более общей формой R так как Gt не есть ин-тензор и получает определенное значение лишь после тою, как сформулировано уравнение калибровки (95.1). Основные моменты этих соображений заключаются в следующем.
Примем сначала какую-нибудь произвольную условную калибровку, не стоящую в какой-либо связи с физичзскими измерениями. Пусть смещение Ail представляет проведенный в некотором направлении радиус какой-либо определенней единицы мате-
/2 = B Av-A-1
(95.1)
$5. Естественная калибровка мира
риальной структуры, например, средние размеры электрона, или атома кислорода, или капли воды, содержащей IO20 молекул при температуре ее максимальной плотности. Jf определяется законами, в основном нам неизвестными. Ho точно так же, как мы
часто можем открыть результаты неизвестных нам физических
законов с помощью соображений о размерности, иринимая в расчет физические константы, которые могут входить в эти результаты, так и здесь мы можем определить условие, которому удовлетворяет Jf, принимая во внимание все мировые тензоры, имеющиеся в нашем распоряжении. Согласно этому методу искомое условие имеет вид
R^ Av-A' =const. (95.11)
Если теперь мы начнем производить различные измерения в мире унотребляя в качестве единицы радиус этого материального образования, то тем самым мы примем калибровку (и ds* = д^ dx^dx ), при которой длина I этого радиуса равна единице, т. е.
1 = Р = д^А»А\ (95.12)
Сравнение (95.11) и (95.12) приводит к выводу, что д должно отличаться от R лишь постоянным множителем. Таким образом мы получаем (95.1) *).
На ряду со сравнениями с помощью материальных единиц мы можем сравнивать длины отрезков также оптическим путем. Мы должны показать, что и эти измерения тоже приводят к калибровке (95.1). Световые импульсы, исходящие из какой-либв точки пространства-времени, заполняют некоторое коническое геометрическое место, некоторый конус. Этот конус существует независимо от калибровки и координатной системы, поэтому он должен определяться ин-тензорным уравнением. Единственное ин-тензорное уравнение, определяющее конус второго порядка, которое можно образовать с помощью имеющихся у нас тензоров, есть
