Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
і
г = (а/'2 — х'~2 — 2хх' cos ші) ~2 •
Это выражение и нужно подставить в (74.5а), причем t после выполнения всех дифференцирований следует положить равным нулю. В нашем случае выражение (74. 5а) можно несколько упростить, если принять во внимание, что каждой компоненте не обращающейся в нуль при t = О, соответствует компонента Tr^ являющаяся четной функцией t, так что ее производные нечет-’ ного порядка обращаются в нуль при t = 0. Поэтому в нашем, случае можно написать:
_д_ dt
\ (ffi
120 ( ëР^ +3/2 ~ 2хх'cos “г)2} ~ • • • (7А-6а)
' гр/
Г (I - IV) J
— T' а —— (T' „ (ж2 -4- х'2 — 2хх' cos Ы\—
dt*1 * 6 ' '
Эго разложение нужно подставить теперь в (74. 5а) и (74.4а) и определить низшие члены, не обращающиеся в нуль. Мы предположим при ЭТОМ, что стержень симметричен (хотя его плотность может и не быть постоянной), так что члены с нечетными степенями X или х' при интегрировании исчезают.
а) Компоненты напряжений Г11, T22*). Значения Tn н T22 малы по сравнению с компонентами импульса и массы; поэтому достаточно вычислить только первый член разложения
’) Собственно говоря, при этом используется формула (74.71*); dY" есть собственный объем элемента стержня. (fl,)
**) обращается в нуль при t = 0, так как при этом [ср. определение jv» к (53 .5)] как рху, так и рт равны нулю. (Я.)
74а. Потеря энергии вращающимся стержнем 34/
<74. 6а). Так как в нем г отсутствует, то интеграл распадается на произведение двух независимых интегралов. Поэтому соответствующий член в выражении (74.4а) будет равен
— 2 JTn dV^ JГп dV — 2 J Г*2 dV^ JГ„ dV'. (74.7a)
Если (линейная) плотность стержня равна <з, то Ti2 d\’ = = O(U2S)2 dx, поэтому
Jt^ dv= т<&,
где / —момент инерции стержня, равный fax2 dx.
Компонента Tli представляет собой напряжение в стержне, и из законов элементарной механики следует, что ее интеграл равен — Ita2.
Для движущегося источника соответствующие интегралы будут равны ho2cos2u>< и — /ш2 cos2<oi. Поэтому (74.7а) дает окончательно для момента ? = 0 значение 16 Iі ш
.2
Ь) Компоненты импульса T2i, Ti2 *). Компоненты Tii и Ti2 определяются следующими уравнениями:
Titi d V = о (ах dx; Т'и d = — о/ш х'dx cos ш t.
Первый член в (74 . 6а) дает теперь при интегрировании нуль, так как в него входят нечетные степени х и х'. Что касается второго члена (74 . 6а), то он дает:
//
1 / \4 16
csiaxdx • а'ю а/ dx' • -g- I 2ш I хх' =----------TP ш6
тот же результат дает и Ti2, так что в общем доля компонент
32
импульса оказывается равной-------I2 ш6.
с) Компоненты массы Tu, Т. В этом случаемы имеем Ta dV = adx; Tii' dV' — adx'. Здесь только третий член формулы (74 . 6а) дает при интегрировании выражение, не обращающееся в нуль и равное
If
1 42
о dx • cs' dx' • --55=1 (2ш)6 2х2 х'2 = -j-= Iі со6. 120' 15
So в рассматриваемом здесь приближении собственная плотность T равна координатной плотности Tu, так что половина
*) Компонента T14 очевидно обращается в нудь при t = 0, так как скорость направлена перпендикулярно к оси х. (Я.)
348 Электричество
этого выражения компенсируется членом с Т, и окончательно
16 j -получается I2 <оь,
йз а), Ь) и с) получается окончательно для потери энергии то же выражение, что и в п. 59а:
Ifi 32 ^16\ Ю R 32 16“Т + Т5/ ®в=т7 “*¦
Если обозначить через а порядок величины линейных размеров и через ® иорядок линейных скоростей системы, то
/ JW \ а
полученный результат по порядку величины равен I — ) »6, где M
полная масса. Так как A44 будет порядка то пренебрежение
высшими степенями h вызывает в а пренебрежение членами по-
(му ± I My0
рядка 1 — 1 Vі и I — I V2. Первое при известных условиях допустимо, второе же допустимо почти наверное. Таким образом, в основу наших приближений кладется допущение, что величинами
/ M \2
этого порядка можно пренебречь по сравнению с I — I ®6. Существование систем малой массы и большой скорости, сдерживаемых силами сцепления, для которых справедливы наши приближения, не представляет трудности для теории. В противоположность
Этому для систем, сдерживаемых силами тяготения, неизбежно
будет того же порядка, что и ю2, так что наши приближения становятся неправильными. Таким образом, этим методом нельзя исследовать потери энергии двойными звездами — если этот эффект вообще существует.
Во всяком случае, необходимо согласиться с тем, что возможность применения указанного метода к системам, сдерживаемым силами сцепления, и неприменимость его к системам, сдерживаемым силами тяготения, обусловливается нашим относительным незнанием природы сил сцепления. Возможно, что силы сцепления распространяются с основной скоростью с; в таком случае наше предположение, что напряжение во вращающемся стержне в точности совпадает по направлению с последним, оказалось бы &е вполне правильным. С другой стороны, сила сцепления связывает соседние частицы, и вряд ли возможно себе представить, что она
75. Преобразование Лоренца
343
распространяется по стержню от одного конца его к другому подобно гравитационному притяжению. На этом основании можно считать выроятным, что влиянием скорости распространения сил сцепления можно пренебречь, но даже в том случае, если бы Это влияние достигало заметной величины, вряд ли можно было бы предполагать, что запаздывание сил сцепления могло бы само по себе ускорить вращение, так что не видно, каким образом может быть компенсирована найденная выше потеря энергии, обусловленная тяготением. Задача становится гораздо сложнее в случае двойной звезды, так как при этом необходимо принять во внимание возмущающее действие поля тяготения на распространение его собственных потенциалов, и мы не можем быть уверены даже в том, что знак нашего результата останется таким же.
