Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Решением его будет хорошо известное из теории распростра-яения звука выражение
где г — расстояние между (x,y,z) и (Є, -rj, С) (см. п. 57).
Доли, привносимые в х1* каждым элементом тока или заряда, просто складываются. Следовательно нам достаточно рассмотреть Элемент заряда de, двигающийся со скоростью 411 и определить ту часть Xfl, которая ему соответствует. Пользуясь уравнением (73.81), имеем
где все величины в правой части взяты в момент времени t — г.
Для бесконечно малого элемента объема мы берем р=const и пишем пределы интегрирования. Ho эти пределы должны быть взяты для момента времени t — г, что вводит важный мнояіитєль, дающий своего рода Допплер-эффект. Если элемент заряда ограничен двумя плоскостями, перпендикулярными направлению г, то интегрирование будет производиться между передней плоскостью в момент времени t — г и задней плоскостью в момент
t — ----(Ir. Если vr есть компонента скорости по направлению г,
то передняя плоскость за время dr успеет переместиться на расстояние v>rdr. Таким образом, мгновенная толщина элемента заряда в момент времени t — г будет меньше, чем расстояние между пределами интегрирования в отношении 1:1 — vr, и интегрирование
*) Другой вывод см. у М. V. Lave, Die Relativitatstheorie, изд. 1-е, том II, стр. 147 и ел. (И.)
(74.61)
(74.62)
74. Электромагнитные волны
335
I 1 \Д
нужно произвести по объему в I ------------— j раз Оольшему, чем мгно-
венный объем элемента заряда; отсюда
р dUi}d'Q-.
Iff'
de
I
Вводя, как обычно, обозначение ^ для множителя Фицджеральда получим из (74.62)
as
Jfde I ________I de (и, ®, го, 1)
4иг?(1 — r.r))f_r~ I 4т:г(1—юг)
I ’}-
>t-r
(74.71)
В большинстве приложений движение заряда может рассматриваться как прямолинейное в течение времени распространения потенциала на расстоянии г. В этом случае
К* —«>,)}*_, = {»¦}»
так как мгновенное расстояние меньше первоначального на величину Vr'г. Тогда результат получает следующий вид:
A*de\ _ fde (и, у,w, 1)|
4 ^rpjt ( 4*r j/ ( • }
Мы видим, что скалярный потенциал Ф заряда не меняет своей величины при прямолинейном движении и должен подсчитываться для каждого данного, а не для первоначального положення заряда. Уравнение (74.71) можно переписать в псевдотен-зорной форме:
і АЧ° 1 (74.8)
4-х A R, j и* Ra — Oj
*) Так как приведенный в тексте пример применения преобразования, может быть, не вполне выясняет значение последнего, отметим еще следующее: когда некоторый объем заполняется субстанцией — носительницей источников, стоящих под знаком интеграла в выражении запаздывающего потенциала — естественно заменить координатный объем did-qdt, элементом собственного обЪема. При этом недостаточно разделить на р, необходимо еще, в связи с условием для границ интегрирования, характерных для запаздываю-
1
щиі потенциалов, ввести множитель • Таким образом, формуле (74.71)
Г
соответствует формула
где I1V есть элемент собственного объема. (//.)
336
Электричество
где R^ —псевдовектор, представляющий расстояние от заряд* (?,т), С, г) до точки (x,y,z,t), где определяется v? .
Условие RaRc. = 0 дает:
_ (Ж _ ?)2 _ {у _ _ (* _ С)2 _|_ (г _ Т)2 = о,
так что
г=г — Г*).
Кроме того
— Р«(® —Е) ——•»))—-Риф ——т) =
== —ргу-|-рг = гр (1—Vr).
Конечное перемещение Rlt не является вектором в общей теории. Мы назвали его псевдовектором, так как он ведет себя как вектор в галилеевых координатах и при преобразовании Лоренца. Таким образом, уравнение (74.8) нельзя применять^ к другим координатам, кроме галилеевых.
Выведем, наконец, еще одну формулу, представляющую потенциал (74.71) в более удобно для многих целей виде, «оторый мы используем в ближайших параграфах. Именно, в то время как в (74.71) значение потенциала в момент времени t было выражено через положение и интенсивность источников в момент (t — т), причем т было переменно от источника к источнику, наша новая формула даст разложение потенциала в момент t через положение и интенсивность источников также в момент времени t.
Рассмотрим закрепленную точку P в момент t и движущуюся точку F в момент (t — -), причем пусть P' движется так, что расстояние PPf будет заданной функцией от (f — т), т. е.
PF =г== f(t — т).
Тогда для компоненты скорости P' вдоль FP в направлении к P получим
dr ...
»,= -иг=
Пусть теперь испущенная из F в момент (t — z) волна достигает точки Q в направлении FP в момент t. Обозначая расстояние PQ через « и положив скорость волн равной единице, имеем a = z — r = T — f(t — -). (74.91)
*) Другое решение т = t -J- г недопустимо по физическим соображениям, ?ак как оно противоречит принципу причинности при обычных начальный и Граничных условиях. По этому поводу см. однако A. Einstein и. И . Rit;.. Phys. Z.,
IX, 1908. Ш/'.)
7\. Электромагнитные волны 337
Таким образом а есть функция т и обратно. Дифференцирование (74.91) по а дает
. j гг ґ* ^d ^ .. ^dт
1 = Г I Ct х) ~Г — (I cJ-T-
d& 'da. v rldx ’
