Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(ds = 0, 8 у™ds = 0) во всех случаях. В последующем разделе мы
убедимся, однако, в справедливости сделанного допущения.
с) Распространение волнового фронта. Понятие «луча» света физической оптики никоим образом не элементарно.
*) В котором опять
Jv = 0. (Я.)
**) По сообщению автора проще всего можно доказать это тензорное уравнение, представив, что мир де Ситтера (с «мнимым временем») находится в плоском пространстве 5 измерений, так что можно применять формулу (65.51). Если уравнение (65.2) соответствующей гиперповерхности взять в виде (65.3), то все числа A1, A2, Iii, Ui будут равны обратным значениям радиуса кривизны, т е. согласно (69.12), ~r . Ho по (65.4)
в начале координат = — ?! = — ат • Поэтому (65.51) дает для
начала координат
^ap р)>
что, конечно, имеет место, независимо от выбранной координатной системы в каждой точке мира де Ситтера. (Д)
332
Электричество
За исключением случая бесконечного фронта волны, луч является некоторой абстракцией, и для полного выяснения' смысла ее необходимо рассмотреть вопрос о диффракционных полосах. Мы не предполагаем здесь заниматься столь общими рассуждениями и, следовательно, не будем пытаться сразу получить здесь пути лучей света для случая обобщенных координат. Нашей задачей будет привести общие формулы к такому виду, чтобы последующий анализ развивался уже по обычным путям физической оптики.
Фундаментальное уравнение, рассматриваемое в обычной теории электромагнитных волн, пишется так:
д2 & & д2\ А
дР дх* ду2 дя*) “ (74.51)
Это та форма, которую принимает Qx=O в галилеевых координатах. Если пространство и время являются не плоскими, мы не можем сразу же перейти к такой упрощенной форме ?v HO мы можем добиться значительного упрощения, применяя естественные координаты для рассматриваемой точки. В этом случае трехзначковые символы (но не их производные) исчезают} и мы имеем
о , / с?а х д \
оWlts- )¦
\ a M a J
? * і— Iі
.................."з
Таким образом закон, распространения Qz1=O в естественных координатах принимает вид
(?--&--&~й)\• <74-52>
На первый взгляд это выражение не кажется Очень многообещающим в отношении оправдания принципа эквивалентности. Мы не можем при каком бы то ни было выборе координат заставить все производные трехзначковых символов обратиться в нуль, так как они определяют тензор Риманна—Кристоффеля. Дело выглядит так, как будто закон распространения в кри еом пространстве-времени содержит тензор Риманна-Кристоффеля, и, следовательно, будет иным, чем для плоского пространства времени. Положение спасается, однако, внутренним умножением на д®. Возможно, именно, выбрать "“координаты так, чтобы
74. Электромагнитные волны
333
«р (?{ЫЗ, ?} .„
выражение д —к——- исчезло для всех Ib возможных KOM-tf
бинаций [л и є *).
Для таких координат (74.52) сводится к (75.51) н обычное решение для плоского пространства-времени будет применимо в рассматриваемой точке.
Решение (74.51), дающее плоские волны, имеет вид:
2и ^
— (Uc+my+nz—ct)
Xi=Vx ‘ (7453>
Здесь —постоянный вектор, I, то, п — направляющие косинусы, так что Z2-J-To2 -J- w2 — 1. Подставляя это в уравнение (74.51), мы видим, что последнее будет удовлетворено, если C2=I и первые и вторые производные от /, т, м, с исчезают. Согласно обычному толкованию этих уравнений косинусы (/, т, п) дают направление луча, а с — скорость распространения вдоль луча.
Равенство нулю первых и вторых производных от (/, т, п) показывает, что направление луча для данной точки есть величина стационарная [световые колебания соответствуют величине Fp4 (а не х и если бы первые производные не были равны нулю, то направление луча не обязательно совпадало бы с /, то, п; стационарность же зависит также от равенства нулю и вторых производных]. Далее, скорость с вдоль луча будет равна единице.
Отсюда следует, что в пространстве-времени любого вида луч будет геодезической линией, а скорость будет всегда удовлетворять уравнению ds = 0. Сформулированный в таком виде результат, хотя и был выведен для весьма специальной координатной системы, будет однако справедлив и для любой другой систёмы, как выраженный инвариантным образом. Ho выражение для потенциала (74.53), конечно, пригодно только для специальных координатных систем.
Таким образом, мы убедились в справедливости для распро-
*) По формуле (36.55) возможно путем преобразования увеличить “{р-р> е} на любую произвольную величину Я* , симметричную относи-
Ct
тельно ц, р В а. Шестнадцать величин а^?а (ц, є = 1, 2, 3, 4) не обязаны удовлетворять каким-либо условиям симметрии и могут быть выбраны независимо друг от друга. Следовательно мы можем подходящим преобразованием заставить исчезнуть правую часть (74.52).
Электричество
странения светового импульса закона [47.(4)] допущенного нами прежде гипотетически *).
d) Решение уравненияЦу/=/. Допустим, что пространство-время можно считать плоским в искомом приближении, т. е. что мы имеем право взять галилеевы координаты. Наше уравнение принимает вид:
