Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Упомянем в заключение о другом виде уравнений (73.71) и (73.72), в котором их формальная аналогия становится яснее. Если Sa^5 означает величину, введенную в п. 4 убедиться, (73.71) можно написать в виде
s
Pf8 (За-,
= 0, (73.91)
причем 4 уравнения (73.71) соответствуют значениям а, равным 1, 2, 3, 4. Мы показали в п. 49, что & есть контравариантная тензорная плотность, так что уравнение
2F'*P = г „ .F .
уо
определяет тензорную плотность F Легко убедиться, что ком* понеиты F ^ отличаются от компонент F только порядком расположения. Так как может принимать лишь одному из постоянных значений О,-J--1, — 1, то умножение на еа^6 можно переставлять с оператором , так что из (73.91) вытекает уравнение
OXp
—з— = 0. Поэтому уравнения Максвелла можно написать в виде ,
OX^
*r = J"> Tt--0- С7М2>
*) Следовательно, новые члены, зависящие от трехзначковых синве-лов, которые при этом появляются в уравнениях (73.74), представляют собой отклонения, которые мощно приписать действию тяготения, (Я.)
74. Электромагнитные волны.
329
74. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.
а) Распространение электромагнитного потенциала.
Известно, что электромагнитные потенциалы F, G, H и Ф не определены однозначно. Они участвуют в явлениях лишь в виде своих вихрей, т. е. электромагнитной силы. Вихрь же не изменится, если мы заменим — F, — G, — H и Ф через
д V д V д V д V
__F4_ _ ______GA-— ______НА- —- Ф-4-—-
^ дх* ^ ду’ д*’ ^ dt ’
где V — произвольная функция координат. Последние выражения дают то же самое электромагнитное поле, и, следовательно, могут быть с тем же правом приняты за электромагнитные потенциалы.
Для освобождения от этого произвола обычно из всех возможных значений потенциалов выбирают те, для которых удовлетворяется условие:
dF dG дН д Ф
дх ' ду ' dz, ' dt
Аналогично, в обобщенных координатах мы избавляемся от произвола в х^, полагая
(XliX=O. (74.1)
После наложения затем граничных условий на бесконечности значение Xii становится вполне определенным.
Из (73.74) и (73.3) следует
>jj\ —у У1 ^ и —у '¦'VP'’- "(V
j = (К I = (yJ%X=/?). = г (Xlip. - V7laJ,
что, в виду (34.3), равно
9^ xPcttJL= )ра (х« )г -jTgI V Оператор (.--)^ мы обозначили ранее через Согласно
<74.1) =0.
Следовательно
? ¦V—',-«с».- (74-31)
Для пустого пространства получаем:
Qxli=O. (74.32)
330 Электричество
Это показывает, что х распространяется с основной скоростью. Если принять закон тяготения G^1 — \д для кривого пространства-времени, то для пустого пространства это уравнение будет иметь вид
(?+*)% =0. (74.33)
Ь) Распространение электромагнитной силы. Для определения соответствующего закона распространения F мы естественно попытаемся взять вихрь от (74.31); отметим однако, что операции образования вихря и действие ? не коммутативны.
Из уравнения (74.2) при помощи (34.8) имеем
J = /1Yx „ — ¦/.„ ) = а®(х „ — х, ) —
I^v tt \ pp.av/ & ^ jxpva PjxNe-'
— /YjBe KaA-Bl х — Bi X — Be Xg ) =
it \ jj.va ер I pva as (3va ер. p.va (3s t
= /р(хя — Xr ) — д*\вг F „ — Bi F ) =
it \ |a]3'j pjxv'a У '- jxv« sp pva Є{х/
= /P(x . — X, -4-5' X)— B Fea-GeFf),
it \ |xvp paV J |x(3v s-'a jxvas v efx /'
откуда
J —J =OciVx . —x d — Bi x 4-Bea x -Bea x) —
v V{x it \ JlrV^ vjx® p[xv є I p.(3v є v(3{x e-'a
— (В —B )Fea — GeF 4-GeF.
^ jj-vae vp.a?/ v ejx * |x ev
Циклическое соотношение (34.6) дает:
Bi A-Be „-J-Be„ =0, Bi -Bea -J-Bea =0.
ptXV I P-Vp I v(J{X ' jx(3v і V^|X
В силу антисимметричности имеем:
(.В —В )Fea = 2В Feci
v jj-vas vp-as-7 ixvoe
и окончательно подучаем:
ofS
о -— С
.V М|Х ‘
так что
J -J = д (х —к V — Gz I' -JrGeF —2В Г
{xv м|х 0 \ {tv V1U/ро* V єр. і р. є V |xvae
? F = J — J -GeF -A-GeF 4-2В Fea. (74.71)
1--1 IXV UV V|X |X SV » V 6{X I Iivae ' '
В случае пустого **) бесконечного мира (Gf' = 0) это дает уравнение
? F =2 В Fea. (74.42'!
1—' {xv fxvae '
*) Так как
= -я" F^ =
= -G11F; = -GlF^. (И.)
**) В котором нет нп материи, ни зарядов, так что
J* = 0. (д.)
331
74. Электромагнитные волны
Для мира, обладающего кривизной, но не содержащего материи*), в котором, следовательно,
tr* — Xg* = О, В =L-Xfg а — д а ) **)
'-fJt irIjt ' JJ-VCte Q W|AV*?C(S *
имеем
? + 4х) ^v = O- (74-«)
He следует удивляться тому, что скорость распространения Электромагнитного потенциала не равна скорости распространения электромагнитной силы (см. 74.33 и 74.43). Первая физически не существенна, так как она зависит от произвольного допущення, что х? = 0. Результат же (74.42) является, как мне кажется, довольно неожиданным. Ои показывает, что в уравнение распространения электромагнитной силы входит тензор Риманна-Кристоффеля, и, следовательно, это явление не принадлежит к числу тех, для которых обычные галилеевы уравнения могут быть сразу же обобщены по принципу эквивалентности. Эт<> заставляет нас усомниться в справедливости нашего допущения
о пригодности инвариантных уравнений распространения света
