Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что даже и в не-галилеевых координатах четырех-вектор тока-заряда точно удовлетворяет закону сохранения
дГ
0.
дх и-
Это следует сопоставить со случаем энергии и количества движения материи. Мы знаем, что в общем случае мы не можем ря этих последних коппонент написать формулу
дТ
___^ = O
дх., '
уравнений (73.71). Пользуясь этим случаем, напоминаем, что уравнения (73.73) определяют' вектор Ku. однозначно с точностью до градиента некоторою ¦скаляра [ср. п. 74 (a)]. (H.)
326
Электричество
HO что требуется ввести добавочный псевдотензор энергии t* ДЛЯ сохранения вида закона. И T7liv и Jli обладают тем свойством, которое мы в теории относительности считаем за естественное обобщение сохранения, т. е. T^'1 = 0; 0.
Если заряд движется со скоростью, компоненты которой равны dx dy d&
dt' dt> ^xo мы получаем
/ dx dy а’« \ ds (dx dy dss dt\ ..
Рд)р=Рїг(л' I- *¦*)• <73-81>
В скобках стоит контравариантный вектор следовательно,
представля * собой инвариант.
Ho — дает Фицджеральдово сокращение, так что объем, который был бы сочтен за единичный наблюдателем, двигающимся вместе с зарядом, будет равен ~ для наблюдателя, покоящегося
в избранной системе координат. Инвариант р есть заряд этого объема, т. е. единицы собственного объема.
Введем величину р0 = р так что р0 есть собственная
Ctty
dx
плотность заряда. Еслн А? обозначает вектор скорости заряда,
(IS
то (73.81) принимает вид
^ = F0 (73.82)
Заряд в отличие от массы не изменяется от движения относительно наблюдателя. Это следует из того, что количество заряда в строго ограниченном объеме (единице собственного объема) есть инвариант. Причину того, что масса и заряд ведут себя различно, можно уяснить на основании формулы (53.2), где вводится
, ds
множитель Фицджеральда —
(Ь%
Для наблюдателя S, пользующегося исходной галилеевой системой координат, величины х , F и Jli представляют собой Электромагнитный потенциал, силу и ток, согласно определению.
73. Электромагнитные уравнения
327
Для другого наблюдатет" S', движущегося с другой скоростью, мы имеем соответству; щи) величины х'^, Fr Jli, получаемые по правилам преобразования, но мы еще не доказали, что это будут как раз те величины, которые измерит наблюдатель S', если он будет экспериментально определять потенциал, силу и ток с помощью движущихся с ним приборов. Наблюдатель S' будет считать некоторые величины за потенциал, силу и ток очевидно потому, что они будут в отношении его мира играть ту же роль? что и величины Xjl, F и Sk для мира наблюдателя S. «Играть ту же роль»—это значит обладать теми же свойствами, или удовлетворять тем же соотношениям или уравнениям. Ho •// , Fr к Jril удовлетворяют тем же уравнениям в системе координат наблюдателя S', что и х F^i и Jli в системе S, так как фундаментальные соотношения (73.73), (73.74) и (73.77) являются тензорными соотношениями, справедливыми во всех координатных системах. Так как уравнения Максвелла являются тензорными уравнениями, то мы можем отождествить Xfi, F и с экспериментально найденными Значениями потенциала силы и тока не только в выбранной нами системе координат, но и в любой галилеевой системе. *)
Наше доказательство в некотором отношении не совсем полно. Существуют ведь н другие уравнения, нами еще до сих пор не рассмотренные, которым удовлетворяют электромагнитные переменные; например, имеется уравнение, описывающее движение заряженной частицы в электромагнитном поле. Мы покажем В П. 76, что оно тоже имеет тензорный ВИД, т. е. что все переменные со штрихами играют в экспериментах мира S' ту же роль, что н переменные без значков в экспериментах мира S. Ho уже н в указанной форме наше доказательство достаточно для того> чтобы показать, что если в системе S' существуют потенциал, сила и ток, аналогичные потенциалу, силе и току мира S, то они будут выражены величинами х , F^ и Jril, так как другие величины не будут удовлетворять выведенным уравнениям. Пред-
*) Собственно говоря, на опыте возможно непосредственно определять лишь составляющие тензоров F и J^, тогда как вектор %v может быть вычислен, исходя из них. Хотя решение Zv уравнении (73.73) не определяется однозначно их левыми сторонами, но его можно инвариантным образом нормировать с помощью тензорного уравнения (у/ )= 0, играющего роль добавочного условия. Если прибавить еще соответствующие — инвариантные — граничные условия, то величина определится из Fjlv однозначно и инвариантно (ср. п. 74а). (Я.)
328
Электричество
верительное же условие, выраженное словом «если», всегда осуществлено, поскольку специальный принцип относительности остается в силе.
Если наблюдатель пользуется не-галилеевыми координатами, он обычно обходится с ними как с галилеевыми, а все расхождения относит за счет введенного силового поля. Величины х F и будут, следовательно, отождествлены с потенциалом, силой и током совершенно так же, как если бы координаты были галилеевыми. Эти величины не будут уже удовлетворять уравнениям Максвелла в их первоначальном виде, ио будут относиться к нашим обобщенным уравнениям, написанным в тензорной форме (73.73) и (73.74). З&ыена (73.72) более общим видом (73.74) распространяет применение классических уравнений на случай, когда кроме электромагнитного действует такжб и гравитационное поле. *)