Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА.
Проделаем следующее преобразование координат:
X = р (х' — Uty, у = у'; s = z'; t = rJ(<' — ?5.1)
M2 2
.¦МЛ и — любая вещественная постоянная, не превышающая с.
Из (5.1) имеем:
dx-2 — c2dl2 = j (dx' — и dt')2—е- ^dt' — =
= paI^l __ j da/2 _ (С2 _ «2)^1 = daf 2 _ Cidi'2, откуда по (4.6)
Cls2 - ¦ dx2 -j- dy2 -|- dz- — с2 d/2 == dx'2 -j- dy'2 -j- dz'2 — c2 dt'2. (5.2)
*) Знаменитый английский астрономический календарь. (P.)
'*) Открытием специальной теории относительности мы обязаны с (^дной стороны Лоренцу и Пуанкарэ, с другой стороны, независимо, Эйнштейну. Cm. Сборник работ классиков релятивизма, ГТТИ (в печати). {Р.)
5. Преобразование Лоренца
*5
Штрихованные и нештрихованные координаты дают «потому одинаковую формулу для интервала, так что и интервалы между соответствующими парами узловых точек обеих координатных систем будут равны и следовательно во всех наблюдаемых соотношениях будут подобны. Если мы будем рассматривать х', у'j z' как прямоугольные координаты в пространстве н t'— как соответствующее время, то мы приходим таким путем к другому возможному способу отсчетов пространства и времени, т. е. получаем другую фиктивную пространственно-временную систему, эквивалентную во всех своих свойствах первоначальной. Для удобства мы будем говорить, что наблюдатель S находится в первой системе, а наблюдатель S' во второй, причем каждый из них покоится относительно своей системы *).
Постоянную и легко интерпретировать. Так как наолю-датель S находится в покое в своем пространстве, то его местоположение определяется уравнением х = const. В координатах S' Это уравнение по (5.1) перейдет в следующее: х' — ut' = const, т. е. можно сказать, что & движется в направлении х' со скоростью и. Таким образом, постоянная и интерпретируется как скорость S относительно S'.
Отсюда непосредственно еще не следует, чт орость S' относительно S равна — м, но это легко можно показать, решая уравнения (5.1) относительно х', у', z', t'. Мы имеем
т)
откуда следует, что перемена S на S' только меняет знак п.
Существенное свойство предыдущего преобразования состоит в том, что оно оставляет неизменным формулу (5.2) для ds2, так что обе координатные системы, которые она связывает, будут
*) Это отчасти является вопросом номенклатуры. Внимательный наблюдатель может заставить себя помнить, что он движется, и выбрать, таким образом, за основу движущуюся систему координат, но он отнюдь не столь охотно согласится принять соответствующую систему отсчетов времени. Поэтому, если наблюдатель не будет пользоваться пространственно-временной системой, в которой он покоится, он вероятно воспользуется некоторой смешанной системой пространства-времени, что приведет к противоречиям. Неоднозначность отпадает, если «наблюдателя» рассматривать только как автоматический измерительный прибор, который по принципам, установленным в п. 4, естественно дает отсчеты того пространства и времени, по отношению к которым он покоится.
3*
х' = [3(а; -J- Ut); у' = у; Zr = г; Ґ = Щ t
36
Основные принзипы
подобны в своих свойствах. Мы уже отмечали, что приведение к сумме четырех квадратов можно сделать многими способами, так что мы можем положить более общим образом
ds2 = dy,2 -4- diicp -Ь dv.fi с/и,2 =
= dlJx'2 -Г dlJi2 + dVs2 Г #/а- (5. ¦'.)
Определение зависимости между какими-нибудь двумя систе мами координат, удовлетворяющих этому уравнению, является задачей чистой математики. Мы можем свободно пользоваться понятиями четырехмерной геометрии и мнимыми вращениями^ чтобы найти эту связь, независимо от того, имеет или нет эго представление какой-нибудь физический смысл. Мы видели в (5.4), что ds выражает расстоянне между двумя точками в эвклидовом пространстве четырех измерений, если координаты (?/i> Уъ Уз> Уд и ІУіі У Ii Плі Уі) представляют собой прямоугольные (вещественные или мнимые) координаты в этом пространстве. Таким образом, эти координаты связаны друг с другом преобразованиями от одной прямоугольной системы к другой в четырех измерениях, а именно переносом и вращением. Перенос или изменение начала координат нас не интересует так же, как и вращение пространственных осей координатной системы Од, Уч, ?/3), оставляющие время неизменным. Нас интересует только то вращение, в которое входит у4; оно выражается уравнениями
У і = У\ cos 0 — у I sin 0; уА = yt' sin О-f-у/ cos 9.
Если положить и = ic tg 6, так что j3 = cos 0, то это сведется к преобразованию Лоренца (5.1). Таким образом, исключая тривиальную замену осей, только одно преобразование Лоренца оставляет уравнение (4.6) неизменным *).
Исторически это преобразование было впервые выведено для частного случая электромагнитных уравнений. На его более общий характер указал Эйнштейн еще в 1S05 г.**).
*) Наглядное алгебраически-геометрическое обоснование указанной здесь алгебраической теоремы см. у М. т. Laue. Die Relatiyitatstheorie, т. I (3-є изд.), стр. 70—71. Необходимо указать еще на элегантное изложение преобразования Лоренца с помощью кватернионов, см. F. Klein , Geomeiri-sche Grundlagen der Lorentzgruppe, Ges. Math. АЫь, Bd. I, стр. 851—552. (//.)
