Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Если принять эйнштейновское видоизменение закона гравитации, где X зависит от общего количества материи в мнре, то легко определить величину наибольшей сферы. По (69.4) 1
P2 = -д---, отсюда R (для воды) приблизительно равно 300 мил-
іионам км.
»«вория относительности.
91
Глава YI.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО.
73. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Для описания электромагнитного поля в классической теории пользуются скалярным потенциалом Ф и векторным потенциалом (F, Gy Я). Электрическая сила (X, Г, Z) и магнитная сила 0> Т) получаются путем дифференцирования этих величин
В классической теории совершенно не рассматривается взаимодействие поля тяготения и электромагнитного поля. Поэтому Эти определения так же как п уравнения Максвелла относятся к случаю, когда поля тяготения нет, т. е. к галилеевым координатам. Мы берем специальную систему • галилеевых координат и полагаем для этой системы
Если мы условимся понимать под х1* контравариантный вектор, мы сможем найти его компоненты в любой другой координатной системе—галилеевой или иной —обычным преобразованием, но конечно, физический смысл этих компонент можно установить только после особого анализа. В частности, мы не можем принять на веру, что компоненты в другой галилеевой системе будут совпадать с новыми F, G, H и Ф, экспериментально определенными для этой новой системы. Предварительно мы определили Xli для всех координатных систем, но уравнение (73.21), связываю-
дФ dF
дИ dG
(73.1)
a = -----------— и т. д.
ду dz
= (F, G, И, Ф).
(73.21)
78. Электромагнитные уравнения
323
щее потенциалы с экспериментально проверяемыми величинами, пока что имеет место только для одной избранной галилеевой системы.
С помощью галилеевых д,к, опустим значки и получим
X11 = C-F, -G5 II, Ф).
Затем, согласно уравнению (32.2), введем тензор
сЫ
IiV
да;
тогда по (73.1) получаем:
дх ’
Iі
(73.32)
(73.3)
и
сЦ dv.4, д( — F)
дхА
- дх,
dxt
дх*
dt
d(~G)
дФ
дх
<?(-
= Xut. д., -Я)
дх.*
дъ
ду
= а, ит. д.,
т. е. электрические и магнитные силы образуют вместе вихрь Электромагнитного потенциала. Полная схема для F будет:
(73.41)
Пользуясь опять галилеевым д^‘, поднимем значки и получим
Il о — T P — X
I * У о — я -F
I -S1 X а О — Z
- Y Z О
F^ = о T
•т
о
а
-Y
а
О
Z
X
Y
Z
о
(73.42)
Обозначим через р плотность электрического заряда *) и через вх, G1 плотность электрического тока.
Положим теперь
^ = P)- (73.5)
Здесь опять-такимы не предполагаем, что компоненты JliB какой-нибудь иной, кроме исходной, системе координат, окажутся Экспериментально найденными плотностями тока и заряда.
*) Буква р во всей этой главе (до введения р0* в п. 80) будет в отличие от обозначений I—V и VrII глав употребляться для обозначения плотности Электрического заряда. (Д.)
21*
324
Электричество
Общепринятыми законами электромагнитного поля являются следующие уравнения, данные Максвеллом:
dZ dY_ да ш дХ_д^. m fin
ду дъ dt ’ Oz дх dt ’ дх ду dt’ *• ' '
ду dp дХ ^Tf &Y
^-« = А+“-; гг-'S=*(73-62)
дх ду dt
?+?+?-« (73-63>
<5 +І +2 : <73'64)
Мы пользуемся здесь единицей заряда, предложенной Хиви-сайдом-Лоренцом, так что множитель 4тг пропадает. Скорость
света, как обычно, принимается за единицу. Диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость не встречаются в точной
теории, так как они будут величинами, появляющимися лишь
в макроскопических уравнениях. Из рассмотрения схем (73.41) и (73.42) видно, что уравнения Максвелла эквивалентны следующим:
dF дР дК
+ ^ + = (73.71)
дх ох 1 дх J
a [J- м
дРlv
(73-72>
V
Первое уравнение обнимает 4 уравнения (73.61) и (73.64)
дх дх
второе же — (73.62) и (73.63). Подставляя
V JA
в уравнение (73.71), мы видим, что последнее удовлетворяется тождественно. Аналогично (73.72) является упрощенной формой для случая галилеевых координат уравнения (Fiiv)v = J
Уравнения Максвелла принимают, таким образом, простой вид тензорных уравнений:
, ду- дх
T»=i? <73-73>
V |Х
*) Это уравнение нужно понимать в том смысле, что его разрешимость относительно X1A эквивалентна условиям интегрируемости соответствующих
73. Электромагнитные уравнения 325
IT4 = Jv-. (73.74)
V
Согласно (51.52) второе уравнение можно переписать в следующем виде:
dF1*'
дх
J. (73.75)
„ -HV d2 Fli''
В виду антисимметричности F , —-3— исчезает, так как при
GCC
H V
•суммировании все члены попарно уничтожаются, т. е.
<Э2 Fliv д F
(73'76)
откуда, согласно (51.12), получаем
(J% = 0. (73.77)
Расходимость четырехмерного вектора тока-заряда («четырех-
вектора») равна нулю.
Для наших исходных координат (73.77) принимает вид
І + ^ + Ж + (73-78)
Если ток вызван движением заряда со скоростью («, о, гс),
то мы имеем: ох, з , аг == р«, ре, рw и таким образом:
д(р«) , d(pp) , d(pw) дР _0 дх ду дъ ‘ dt
Это является обычным уравнением непрерывности (ср.53.71), выражающим закон сохранения электрического заряда.
