Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
ІІЗ (72.1) следует, что
^zi-=JL ± v*_J_XV4-і-/. = J- ^
/•2 2 г 2 4 ^4 2 г
Поэтому
, (ЬЧ
Tl = Tl= Tl =^e-1'^-------------— (72.31)
Ti = — е~х — ——— ('72 32)
4 ‘8я 2 г ~~ 8л'
Компоненты Т\ и T10 Tl, T33, отнесенные к системе координат (г, 6, ср), представляют собой плотность и систему напряжений. Вследствие этого решение Шварцшильда дает для каждой точки равномерную плотность и изотропное гидростатическое давление.
Дальнейшие вычисления, произведенные на основании (72.31), дают следующее выражение для давления:
1-(1_аг2)2-|.(1-аа2)2
P=-Tl = -^-----------------j---------------т. (72.4)
3 2 1 2
— (l-aa*) —— (I—а/-2)
Отсюда мы видим, что давление исчезает при г = G и стало бы отрицательным, если бы мы попытались распространить решение
72. Проблема однородного шара
319
Ba границу г«=я. Поэтому шар г = а представляет собой границу жидкости. Если необходимо распространить решение на область, лежащую вне шара, то надо исходить из другого вида ds2, который соответствует уравнениям для пустоты.
ным. Это условие дает верхнюю границу для размеров жидкого тара заданной плотности. Такая граница должна существовать, гак как присутствие материи увеличивает кривизну пространства и уменьшает его общий объем. Очевидно, что объем материального шара не может быть больше объема пространства.
Для не слишком больших шаров (например, не на много превышающих размеры звезд), это решение приближенно соответствует задаче о равновесии несжимаемой жидкости. В самом дело, псе необходимые для этого условия удовлетворены, а именно:
1) плотность равномерна;
2) на поверхности давление исчезает;
3) система напряжений соответствует некоторому изотропному гидростатическому давлению и удовлетворяет поэтому условию равновесия для идеальной жидкости;
4) давление нигде не становится бесконечным, отрицательным или мнимым.
Обычно при преобразовании координат компоненты тензора Энергии изменяются, так что сначала нужно убедиться в том, что выбрана правильная система координат, которой для данного случая будут естественные координаты, если хотят эти компоненты интерпрі вать как давление и плотность. Чтобы перейти
от координат (г, ф, t) к естественным координатам в точке Р,
надо изменить единицы измерения для г и 0 вблизи точки Р. При этом преобразовании координат смешанный тензор Г4 остается неизменным [ср. с правилом преобразования (23, 23)], так как исчезают все компоненты, не расположенные по главной диагонали, тогда как оба теизора Tliv н могут и не оставаться неизменными. Вследствие этого формулы (72.31) и (72.32) остаются в силе и при выборе в упомянутой точке естественной координатной системы, так что произвол в выборе исходных координат не повлияет на правильность наших заключений.
Вместе с тем заключение о том, что решение соответствует случаю идеальной жидкости с равномерным распределением плот-
До тех пор пока
давление остается везде конеч-
320
Кривизна пространства и времени
пости, относится только к плотности T1t или р00. Однако, на основании приведенных в п. 54 положений, условие постоянства р00 для несжимаемой жидкости представляется невыполнимым. Пам ведь нужно решение, для которого T или P0 оставались бы постоянными во всем жидком шаре; однако, решение этой задачи не содержится в исследованиях Шварцшпльда.
До тех пор пока размеры шара малы, это различие не приводит к большому расхождению; однако, для больших шаров давление вблизи центра очень велико, и оба решения могут сильно отличаться друг от друга. Легко доказать, что для больших шаров,
отрицательное значение для Т. Поэтому повидимому, даже не
какой-либо физический смысл. Приходится весьма сожалеть, что решение перестает быть действительным как раз для больших шаров, ибо существование верхней границы для шаров является одним из интереснейших пунктов всей проблемы. Насколько мне известно, в деле получения точного решения для жидкого шара еще не достигнуто никакого значительного успеха, который мог бы пролить свет на характер уменьшения радиуса пространства при увеличении размеров шара.
Во всяком случае, я делаю эти замечания не без колебаний, так как трудно сказать, как будет вести себя действительная жидкость в том случае, когда очень сильно нарастающее давление уже не сможет более значительно сближать элементарные частицы.Отиосительно природы давления в газе имеется полная ясность, так как оно определяется здесь скоростями молекул. Напротив, в жидкости могли бы возникнуть максвелловские электромагнитные напряжения, и тогда заключение о том, что р0 постоянно, не соответствовало бы действительности. С другой стороны, кроме того могли бы выступить на сцену какие-нибудь таинственные квантовые явления, о которых мы вообще ничего не можем сказать.
Если принять, что порядок величины результата Шиарпшильда
Шварцшильда дает в центральной точке
доходя до границы
решение уже перестает иметь
72. Проблема однородного шара
321
верен, то радиус наибольшей возможной водяной сферы был бы равен 370 миллионам км. Радиус звезды Бетельгейзе равен при* близительно половине этого значения; ее плотность, однако, чересчур мала, чтобы было возможным сделать какое-либо интересное применение вышеприведенного результата.
