Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
В связи с этим часто отмечался следующий парадокс. Возьмем координатную систему, отнесенную к наблюдателю А, покоящемуся в начале координат, и пусть наблюдатель В находится в момент t в покое на большом расстоянии от начала координат. Колебания атомов в В (измеренные в момент t) будут медленнее, чем соответственные колебания атомов в А. Ho так как наша
70. Сферический мир де Ситтера
ЗО,9
координатная система является статической, то эта разница будет обнаружена любым наблюдателем, экспериментально измеряющим частоты света, которые он получает. Следовательно, и наблюдатель в В должен обнаружить эту разницу и заключить, что свет, приходящий из А, смещен к фиолетовому концу относительно его стандартного атома. Ho это нелепо, так как, выбрав В за начало координат, мы должны ожидать для света, пришедшего из А, смещения к красному концу. Ошибочность рассуждений заключается в том, что мы опустили из рассмотрения все, что происходит * течение продолжительного времени распространения света от А до В или от В до А, а в течение этого времени наблюдатели уже
перестали находиться в относителпыном покое, так что нам прихо-
дится принять во внимание компенсирующее влияние Допплер-^ффекта.
Для того чтобы получить более ясное геометрическое представление о мире де Ситтера, рассмотрим лишь одно пространственное измерение, опуская координаты 0 и <р. Тогда уравнение (67.31) дает
— r/s'2 =х IP (da>‘2 -j- sin2 cu d'2) = R2 (d у? — cos2 y dt-) =
= dx2- -j- dy2 -|- dz2,
где
x = R sin o) cos ? = Й cos •/ sin it, у = R sin cu sin {. = R sin /, s — й cos (o = R cos у cos it,
и
я2 + /2 + *2 = #2.
Мы видим, что действительные значения-/и t соответствуютмни-мьш значениям со и С и что, соответственно, для действительных событий х мнимо, а у и г действительны. Введем новую действительную координату ? = — гх, тогда действительное пространство-время будет представлено однополым гиперболоидом, ось которого направлена вдоль оси именно
-Sa =Ra,
ds2= dP - dy ' — dzfl.
Таким образом геометрия здесь ниеет галилеев характер.
Мы пмеем тогда
3J0 Кривизна пространства п времени
так что пространственная сетка дается плоскостями, перпендикулярными оси у, а временная ¦— плоскостями, проходящими через ось у и разрезающими гиперболоид на полосы.
Пути световых пучков ds = 0 являются образующими гиперболоида*). Пути свободных частиц будут геодезическими линшіми (не эвклидовыми) **) иа гиперболоиде, и, исключая значение у = О, линии пространственной сетки не будут итти по геодезическим линиям, так что частицы не будут находиться в покое.
Координатная система (г, t) одного наблюдателя пе покрывает целиком всего мира. Пределы от t——оо до t =-)- со соответствуют изменению величины — в пределах ±1. Весь опыт каж-
дого отдельного наблюдателя за все время от t= — со до J =-{-ос заключен внутри полосы, вырезанной двумя перпендикулярными друг другу плоскостями. Перемещая начало координат, мы даем возможность другому наблюдателю исследовать другую полосу.
Возникал еще следующий вопрос, действительно ли пуст мир
де Ситтера? В формуле (70.1) мы имеем особую точку г==
подобную особой точке г = 2т в решении уравнения для частицы материи. He должны ли мы предположить, что и первая особая точка так же дает материю — «горизонт масс», или кольцо масс иа периферии, необходимое для поддержания пустого пространства внутри. Если бы это было так, то повидимому и мир де Ситтера не мог бы существовать без больших количеств материи так же. как и мир Эйнштейна, Де Ситтер только сумел убрать пыль в углы, где ее нельзя наблюдать.
Особая точка в ds2 не обязательно указывает на присутствие материальных частиц, так как мы можем соответствующим преобразованием координат вводить такие особые точки или устранять их совсем. He известно, что является виной этой особенности: структура ли мира или непригодная координатная система? В коиеч-
*) Потому что направления на гиперболоиде ds^ = 0, исходящие из точки У = R, s=0, ?=0, определяются уравнениями dy = 0, d W—rfs2—O1
ll « = — d. А это как раз будут направления обеих образующих гипербо-лопдэ
= Гу_Е = д+51
y + g = Ь + { = я_«|'
проходящих через точку у = Л, с = 0, S = O. (Я.)
*’) В том смысле, что мероопределение на гиперболоиде имеет вид
= rfp* — rfy2 — dsK (Н.)
70. Сферический шир де Ситтера
311
ной области мы с самого начала обходим это затруднение выбором подходящей координатной системы и в дальнейшем допускаем только такие преобразования, которые не имеют в данной области особых точек. Ho мы вряд ли можем применить такой метод к рассмотрению всего конечного мира, так как все обычные аналитические преобразования, даже простое перенесение начала координат, вводят где-нибудь особую точку. Если форма пустого мира де Ситтера верна, то невозможно указать на такую координатную систему, которая представляла бы всю действительную протяженность пространства-времени без особых точек. Это бесспорно неудобно для математиков, но я не вижу никаких других следствий указанного возражения.
