Основы магнитного резонанса. Часть II - Дзюба С.А.
Скачать (прямая ссылка):
х(Т х(0)~ ^x(0)]dt (V^t)-Vn(O)
у(0^ fdt1 fdt2 (V22V1 Vn(O)I (t2y*
" n n
m-jdt, \dt7 'Mvu(t2)e + X(O)^jai ]dt:
Проведем усреднение этого выражения по всем реализациям случайного изменения V(t). Как и прежде, будем
считать что V(t) = 0. Также будем считать, что флуктуации секулярных и несекулярных матричных элементов оператора возмущения происходят независимо друг от друга. Тогда линейные по этим элементам члены (в том числе и первое приближение) усреднятся до нуля. Если выполняется условие T » со"1, можно также пренебречь быстро осциллирующими членами, пропорциональными exp(/<w(f]+*2)). Наконец, проведем замену переменных t\ = t, t2 = t + т (ср. п. 15.2). Тогда получим
__. г о _
x{T) = -x(0)?ldt (VJt)~Vn(t)WA і* + *))
" л .
0 -t T о
-t
15.34а)
-m^\dt)dTVv(t)Vn(t + T)?™
-t
Аналогично можно получить
у(Т) = -у(0)~ dt jdr [Vl2(t)V21(t + ту
(15.346)
Далее можно рассуждать так же, как и в рассмотренном выше случае продольной релаксации (п. 15.2). В результате (15.346) сведется к выражению, аналогичному (15.13). Формула (15.34а) определяет поперечную релаксацию. Из нее следует, что при T » Tc релаксация поперечной намагниченности является экспоненциальной. Сопоставляя (15.34), (15.8), (15.13) и (15.15), можно написать
1
15.35)
где
7
fdtfdT(V22(t (ОХ
У+ Г))
адиабатический вклад в скорость
1 1 1
определяет неадибатичеекий вклад. Такие названия связаны с тем, что первый вклад не связан с изменением населенностей уровней, второй же как раз этим изменением определяется. Для оператора возмущения, заданного в виде (15.18), и экспоненциальной функции корреляции нетрудно получить выражение, аналогичное (15.21)
±-=у2Н?тс. (15.38)
Отметим, что аналогичный расчет скоростей продольной и поперечной релаксации в общем случае многоуровневой системы соответствует так называемой теории Рэдфильда.
Адиабатический вклад в поперечную релаксацию можно также получить в рамках классической картины движения вектора намагниченности. Ввиду большей физической наглядности этой картины рассмотрим ее здесь подробно.
15.5. Адиабатическая релаксация в векторной модели
Пусть вектор M в начальный момент времени лежит в плоскости ху вращающейся системы координат и направлен
вдоль оси Y, как это показано на рис. 15.1 слева (такую ситуацию можно создать путем действия 90-градусного импульса
вдоль оси X (см. п. 19.1)). Данное направление не является равновесным, поэтому вектор M будет стремиться вернуться в равновесное положение вдоль оси Z. Для поперечных компонент это означает релаксацию.
Начальное состояние Релаксация
42 Легко понять, откуда возникают найденные выше два вклада в поперечную релаксацию. Когда M находится в плоскости ху, населенности обоих уровней одинаковы и Mx = 0. Спин-решеточная релаксация будет стремиться вернуть населенности к их равновесной разности. Скорость этого процесса есть W = 1/2 Tb это неадиабатический вклад в скорость релаксации. Второй вклад возникает следующим образом. Поперечная намагниченность будет со временем уменьшаться за счет разброса для разных спинов частот ларморовской прецессии (см. рис. 15.1, справа). Этот разброс возникает за счет локальных магнитных полей (молекулярного происхождения) Hz(I), которые к тому же зависят от времени. (Статический разброс локальных полей также приводит к поперечной релаксации, о чем будет сказано в п. 15.6.) Это есті адиабатический вклад в поперечную релаксацию. Так как первый вклад обусловлен действием полей вдоль осей XhY (см. (15.21)), то оба вклада можно считать независимыми (если, конечно, нет корреляции во флуктуациях полей вдоль разные осей). Тоща их скорости аддитивны и суммарная скоросп определяется (15.35).
Займемся теперь расчетом адиабатического вклада і рамках векторной модели. Обозначим Дш(0 = уHz(I) зависящие от времени сдвиг частоты для некоторого спина, причем среднее значение этого сдвига пусть будет равно нулю. Тогдг
эволюция поперечной намагниченности вдоль оси Y определяется усреднением по всем реализациям случайной процесса
My(T) ~ cosi fdt A&(t) 1 = cos X , (15.39
to J .
где
J
X = jdtAu)(t). (15.40
о
Таким образом, величина X определяет фазу, которой обладав' данный спин в момент времени Т.
Для стационарного шума Ato(t)
43 A<o(t)A<o(t + т) = ACo2G(t) ,
(15.41)
где GfrJ - функция корреляции для случайных флуктуации частоты. Аналогично (15.11) можно ввести время корреляции tc для этих флуктуаций.
Рассмотрим случай T » тс. Временной промежуток от О до Г можно разбить на N интервалов (О, J1), (ti, f2) и т.д. Тогда интеграл (15.40) можно разбить на сумму интегралов
t ii u iw
J =J +J +...+J
(15.42)
Если величина каждого из интервалов разбиения превышает тс, то каждый интеграл в (15.42) статистически независим. Тогда можно воспользоваться центральной предельной теоремой теории вероятностей, согласно которой сумма N независимых случайных величин стремится при N оо к нормальному распределению с центром, определяемым средним значением этих величин (нуль в нашем случае). Поэтому плотность распределения <р(Л) величины X при больших Г есть
