Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дзюба С.А. -> "Основы магнитного резонанса. Часть II" -> 7

Основы магнитного резонанса. Часть II - Дзюба С.А.

Дзюба С.А. Основы магнитного резонанса. Часть II — Новосибирск, 1997. — 138 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovimagrezonansa1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 34 >> Следующая


15.2. Продольная релаксация в двухуровневой системе

Рассмотрим систему, описываемую гамильтонианом, состоящим из постоянной и зависящей от времени частей,

H = H0+ V(і). Пусть стационарная часть H0 имеет два (и только два) собственных состояния с энергиями Е\ и 2?. Очевидным примером такой системы является спин 1/2, взаимодействующий с постоянным магнитным полем и

31 случайными магнитными полями, создаваемыми в веществе окружающими молекулами:

2 - g>2 = Е2/Й

- сої = Еі/й

Обозначим ю = ©2 - ®ь стационарные волновые функции невозмущенной системы обозначим ф1 И Ф2, т.е. //0фк -где к — 1, 2. Пусть T - волновая функция, удовлетворяющая временному уравнению Шредингера для полного гамильтониана

Я:

ih^ = (H0+V(t))4> (15.1)

Т. к. фі И Ф2 образуют полную систему функций, T может быть представлена в виде

? = Сх(фхе^ + С2(ф2е"°>' (15.2)

Подставляя (15.2) в (15.1) и сокращая слева и справа равные члены, получаем

ІЛ / .4 W

ihe1^ ^iHZ + іПе-^' ^bSll = Cx{tW(t)<pxeia* + C2{tf(typ2etaIt dt dt

(15.3)

Умножаем обе части (15.3) слева один раз на <p*e,aht и другой раз на ^eu0lt и интегрируем по всем переменным, от которых

зависят стационарные волновые функции. Получится два уравнения

= Сі(0ги(0 + с20)Уп(і)е-ш Ш (15.4)

+C2 (OF22 (О,

32 А Л

где F1, (ґ), F21 (/) и т.д. - соответствующие матричные элементы оператора возмущения.

Теперь приступаем к расчету времени спин-решеточной релаксации Т\ . Согласно п. 1.6 для этого необходимо рассчитать скорость переходов с одного уровня на другой. Пусть Cj(O)=I, Сг(0) = 0 (т.е. система первоначально находится в состоянии 1). Вычислим вероятность перехода в состояние 2. Возмущение будем теперь считать малым. Решение ищем в виде Cl = 1 + C1W, C2 = с2<4 где C1^D малы. Тогда из (15.4)

dC

= (15.5)

dt

Отсюда в некий момент времени Т> 0

C2(T) = JF21Cryffif (15.6)

п О

Вероятность найти систему в состоянии 2 есть- произведение С2*С2. Запишем его в виде двойного интеграла

Ct2C2(T) = ^)dt]dt2VX2(t,)V2,(t2y^ (15.7)

п о о

Производим здесь замену t\ = t, h = t + х. Тогда

Ct2C2(T) = ±]dtT~{dzVu(t)V2l(t + ту- (15.8)

h o -t

Будем считать, что оператор случайного возмущения V(t) можно представить в вище произведения V(t) = Af (t), где

л

А - оператор, не зависящий от времени, a f(t) - случайная функция. Без ограничения общности для функции f(t) можно считать, что среднее по всем реализациям случайного процесса

/(/) = 0. Если это не верно, то среднее значение V(t) можно

33 включить в H0. Будем также считать, что шум стационарный, т.е. результат усреднения

/(0/(/ + r)SG(r) (15.9)

не зависит от времени t. Введенная здесь функция G(t) называется функцией корреляции случайного процесса. Отметим, что

G(T) м >0. (15.10)

Время корреляции случайного процесса по определению равно

^~~\G(T)dT (15.11)

Cr(O) о

(можно считать, что G(O) = 1, что обеспечивается подходящим выбором А). Усреднение (15.8) по всем реализациям случайного процесса дает

C2C2(T) = JL| A2ZjdZjdTG(T)e^. (15.12) Tl о -t

При T » тс во внутреннем интеграле пределы можно заменить на -оо и оо. Поэтому

C2C2(T) = h\x\TJ(m), (15.13)

п

іде введена функция

/(«)= JAGOyer. (15.14)

—00

Данная функция является фурье-преобразованием функции корреляции. Можно показать, что она определяет спектральную плотность шума на частоте со. Таким образом, вероятность перехода пропорциональна плотности шума на частоте перехода.

Из (15.13) видно, что населенность уровня 2 линейно зависит от времени. Вероятность перехода Ж на этот уровень с

34 уровня 1 в единицу времени есть (напомним, что 2 W- \/Т\ (см. п. 1.6))

w=<15Л5> Zi, л

Тот факт, что можно ввести не зависящую от времени скорость перехода, означает экспоненциальную релаксацию. Таким образом, здесь мы получили обоснование уравнения Блоха для продольной компоненты намагниченности.

Часто функцию корреляции можно считать экспоненциальной:

G(t) = exp (W^c)- 15.16)

Тогда

I-ImpJ!,

2ТХ ~ H2 1+Ф2г2/

W = —=ТГ!4ІІ2 ;-FT- (15.17)

Пусть теперь речь вдет о спиновой системе с двумя стационарными состояниями |а> и |?> и пусть можно

представить оператор зависящего от времени возмущения V(t) в виде

Г(0=*/ЯНт (15.18)

где Н*(/) - некоторая величина, ¦ имеющая размерность магнитного поля. Физический смысл такой записи соответствует взаимодействию спина с локальными молекулярными полями. Гамильтониан (15.18) представляет собой сумму трех скалярных членов, каждый из которых является произведением оператора соответствующей проекции спина на случайную функцию. Для расчета вероятности перехода здесь необходимо вернуться к выражению (15.8). Так как

Vu(t) = (?\g?(HX + HySy + HXia) = \g?(Hl + ія;>,

(15.19)

то (ср.(15.8))

35 vn(t)vn(t+г)=і g2?2{H*x(t)H*x{t+г)+я;(о#;(/+г)+ 4 г

+m*(t)H*jt + т)- m*x(t)H*y(t+г».

(15.20)

Введем дополнительное предположение о независимости флукгуаций Hx(t) и Hy*(t). Тогда перекрестные члены в (15.20) усредняются до нуля. Выкладки, аналогичные (15.12) - (15.17), приводят к результату
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 34 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed