Основы магнитного резонанса - Дзюба С.А.
ISBN 5-230-13579-4
Скачать (прямая ссылка):
1.2. Оператор момента импульса В атомах и молекулах момент импульса и связанный с ним магнитный момент могут создаваться за счет орбитального движения электронов. По этой причине момент импульса называется также орбитальным моментом. Описание свойств системы на таком микрос копическом уровне возможно только с помощью аппарата квантовой механики. При переходе к квантовой механике классическое выражение для механического момента импульса (1.4) заменяется кван-товомеханическим оператором. Так как оператор импульса частицы есїь -ihv, оператор момента импульса одной частицы дох н иметь ВИД -Ih Гх7- Обычно момент импульса измеряется в единицах постоянной Планка ь. Тогда оператор момента для системы частиц есть
L = -і га rn*vn. (I.I0)
Для системы, находящейся во внешнем поле, момент импульса в общем случае не сохраняется. Закон сохранения имеет, однако, место для центрально-симметричного поля. Таким типом симметрии обладают свободные атомы.
Если момент импульса не сохраняется, можно поставить вопрос о среднем его значении. Квантовомеханическое среднее определяется интегралом
- = J ф* L ф dq, (I.II)
где ф - волновая функция системы, a q - набор всех пространственных координат. Можно показать, что для всякого невырожденного состояния в отсутствие внешнего магнитного поля
б <L> = 0. Это следует из того, что гамильтониан системы аг является в этом случае действительным. Тогда уравнение Шрединге-ра «ф = Еф при операции комплексного сопряжения переходит в уравнение эеф* = Еф*. Из условия невырожденн сти состоят-~ следует тогда, что фиф* могут отличаться друг от друга лишь несущественным фазовым множителем с модулем, равным единице, т.е. если этот множитель не учитывать, волновая функция ф должна быть вещественной. Так как выражение (1.10) является чисто мнимым, среднее значение (1.11) также должно быть мнимым. С другой стороны, среднее значение любой измеряемой физической величины может быть только действительным. Отсюда и следует, что это значение может равняться только нулю.
Напомним теперь основные свойства оператора момента.
Различные проекции оператора удовлетворяют следующим правилам коммутации:
(LyfLz)=ILx, . (LzfLx)=ILy, (LxfI^)=ILz. (1.12)
Так как разные проекции не коммутируют между собой, они не тгут одновременно иметь определенных значений.
Из операторов Lx, Ly , Lz можно составить оператор квадрата величины момента импульса
AQ AQ Art АО
-Ld- = + l| + L^. (1.13)
Этот оператор коммутіфует со всеми проекциями
AQA AQA AQA
(LS Lx) = (LSLy) = (Lii1Lz) = 0. (1.14)
Это означает, что квадрат момента может иметь определенное значение одновременно с проекцией на одну из осей.
Пусть такой осью будет ось Z. Собственные функции операторов Lz и L2 определяются целыми квантовыми числами MhL соответственно. Обозначим эти собственные функции как ILM>. Тогда
LZ!LM> = M -I LM>,
(1.15)
L IШ> = L(LtI) ILM>. Причем т, > J, a M меняется от -L до L с шагом 1. Явный вид
7 собственных функций дается сферическими гармоник .ми Ya^,(р), они зависят только от полярных координат, -o и ср с'зрической системы координат.
Полезно ввести операторы
L+ = Lx + 11^, L^ = Lx - ILy. (1.16)
Отличные от нуля матричные элементы этих операторов
<LMIL+IL,M-1> = <L,M-1IL_ILM> = V(L+M)(L-M+1) . (1.17)
А А
Операторы L+ и L_ называются соотвественно операторами повышения и понижения. Действительно, согласно (1.17), первый из них при действии на волновую функцию повышает квантовое число М, а второй понижает.
Отметим также полезную формулу, используемую при расчете скалярного произведения двух операторов:
?Л = hzhz + 2<?іА- + ?іЛ+>- (1-18)
Наконец, можно ввести оператор магнитного момента, который по аналогии с (1.3) есть
H = ThL. (І.І9)
Таким образом, магнитный момент за счет орбитального движения является величиной, кратной константе
? = Th = -fie- = 0.927.10"20 эрг/гс, (1.20)
где е L m - заряд и масса электрона соответственно (е > 0). Константа ? называется магнетоном Бора.
В молекулах сферическая, симметрия поля не имеет местами можно говорить только о среднем значении орбитального момента. Оказывается, что за очень редким исключением основное состояние г лекул является невырожденным по орбитальным квантовым числам (вырождение может быть по спину (п. 1.4)). Отсюда, согласно вышеизложенному, следует, что <L> = 0. Поэтому в магнитном резонансе молекул оператор орбитального момента и связанный
8 с ним магнитный момент важны только при вычислении разного рода поправок к эффектам, обусловленным наличием у частиц спинового магнитного момента.
1.3. Магнитные моменты электрона и ядер
Свободный электрон и многие ядра обладают спином. Спин -это "собственный" момент частицы, не связанный с ее движением в пространстве. Величина эта векторная. Измеряется спин, как и орбитальный момент, в единицах постоянной Планка h. Оператор спина имеет все те же свойства, что и оператор орбитального момента за исключением зависимости собственных функций от пространственных координат. Также он отличается тем, что может иметь значения, кратные 1/2, т.е. 1/2, 1, 3/2 и т.д. Спины ядер мы будем будем обозначать буквой I, а спины электрона - буквой S. -Для краткости в дал1 чейшем мы не будем использовать шляпку над оператором спина.
