Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.
Скачать (прямая ссылка):
350
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
(ГЛ. VII
Заметим, что уравнения (7.22) можно, конечно, записать и в виде (7.18"),
но индекс i будет принимать значения только
1, 2.....гг, а из силовой функции U должны быть исключены
координаты точки М0 при помощи формул (7.21").
2. Перейдем теперь от барицентрической системы координат к другой
относительной системе, иногда более удобной, с началом в одной из
движущихся точек М{ и с неизменными направлениями осей.
Возьмем за начало новой системы координат точку М0, а новые оси М0х, М0у,
TWqZ будем считать параллельными соответственным осям старой системы
G?,'t)%' или, что то же, осям абсолютной системы Ogrj?*).
Обозначая координаты точки М{ (?= 1, 2, ..., п) буквами хи у и Zu имеем
по формулам параллельного преобразования координат
Используя формулы (7.21"), мы исключим координаты точки М0 и выразим
координаты остальных точек в новой системе только через барицентрические
координаты тех же точек, т. е" получим
m0xl = (т0 + тt) \\ + SX&y. (7.230
и подобные же выражения для двух других координат.
Чтобы получить дифференциальные уравнения, определяющие относительные
координаты xt-, уи ги продифференцируем прежде всего дважды формулы
(7.23), что дает **)
а затем заменим Ц и Ц их выражениями из уравнений (7.22) и (7.18').
Обозначая расстояния точек М\ (t=l, 2.......п) до точки М0
через rit т. е. полагая
Аю = ri = У*5 + 0| + *?.
*) Система Мо хуг не имеет общего названия. Если же рассматривается
задача о движении больших планет и если точка Мо изображает Солнце, то
эта система координат называется гелиоцентрической. Если рассматривается
задача о движении спутников (естественных или искусственных) и точка Л!о
изображает центральную планету, то система М0 хуг называется обычно по
имени планеты, т. е. геоцентрической, селеноцентрической,
ареоцеитрической (по греческому имени планеты Марс- Арес),
венероцеитрической, сатурноцентрической и т. д.
**) Для сокращения мы проделаем необходимые выкладки только для одного
уравнения, после чего два других напишем по аналогии.
5 3] УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
и имея в виду, что
\j li = xj xr ¦ ¦ ¦>
мы с помощью формул (7.23) будем иметь
351
m0xt
xi = -f-- f I
П
/S'
m,
xj - xt
a?;
¦/
niiXi
i = i
где
Д U=V (Xj - X[ )2 + [yj - yif + (zj-ztf,
и штрих при знаке суммы по-прежнему обозначает, что при суммировании
должен быть пропущен член, для которого /=/.
Окончательно мы напишем уравнения относительного движения в следующем
виде:
i-ti:
т.,
у. vv /У1 - У1 УГ
yt + f("h + mt)-pr = f2j з---------------------------73-
J-г
п
\ г' г V'
Г< i-1
/и.
Xj - X, XJ
|т-" 1
У]-У1 У1
А1/
Zj-Zi Z)
г)
(7.24)
(/ = 1, 2......п).
Правые части этих уравнений можно представить также в виде частных
производных от некоторых функций координат всех точек нашей материальной
системы. Действительно, положим
Ri - /2 m)Ri)
j-1
_ 1 X'Xj + ytfj + ZtZ)
- - -3---------¦
*i) rj
Тогда, как легко проверить непосредственно, имеем дЯц xj - xi xj
(7.25)
(7.25')
дх,
г)'
Полагая еще для сокращения
^ = /К+т/) (/=1, 2, ..., п),
352
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
мы представим уравнения (7.24) и следующей классической форме:
*1 .V.
' ' ! Г
дП,
•• . м,-
у. _1._'
д.X,
OR.
zi
'7 dlJi bzt _
dz,
A
(7.240
Функции Ri называются воз м ущающ и м и функциями (или пертурбационными
функциями), так как они определяют действия притяжений (возмущений),
которые испытывают точки Mi со стороны всех остальных точек системы
(кроме точки М0). Это название - возмущающие функции - возникло в задаче
о движении больших планет солнечной системы, массы которых малы по
сравнению с массой Солнца - точки Ма. Действительно, каждая из девяти
больших планет испытывает действие притяжения Солнца и действия
притяжения всех остальных восьми планет. Так как массы всех больших
планет достаточно малы по сравнению с массой Солнца (ни одна из этих масс
не превышает одной тысячной доли массы Солнца), то действие Солнца
является главной причиной, управляющей движениями каждой планеты, а
действия всех остальных восьми планет весьма малы по сравнению с
действием Солнца и могут (как это естественно кажется!) производить
только незначительные, вообще говоря, изменения в движении каждой
отдельной планеты вокруг Солнца. Эти незначительные изменения принято
называть возмущениями, а отсюда и появилось название для функций R{.
Следует отметить, что каждая из точек Mi имеет свою собственную функцию
Ri, в то время как силовая функция -одна для всей системы.
Определив из уравнений (7.240 относительные координаты Xi, у<, Zi точек
М/, мы можем найти и барицентрические координаты всех точек системы.
Действительно, прибавляя к обеим частям формулы
ml'-, = - 51 mjlj
J-1
величину |',5>г, мы получим \in-'2imi] j=i V (-о /
§ 3] УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
откуда с помощью формул (7.23) найдем *)
353
l'l - XI 1 т Л S mjXj,
У-1
1 т п
л; = yt 2 mjyj.
