Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.
Скачать (прямая ссылка):
тела, получим проекции силы притяжения материальной поверхности или
простого слоя Т, действующей на любую точку пространства Р(х, у, г) в
виде
-zir-dm.
J J* J
(5) (5)
j j = , J !L=JL<tm,
Z-tt- dm, A3
(5) (5)
где интегрирование распространено на всю поверхность S, несущую на себе
притягивающую материю. Вводя опять функцию
U{x, у, z) = f J J J , (1.17)
(5) (6)
притяжение точки поверхностью И ЛИНИЕЙ
25
мы покажем, совершенно так же как и выше, что если точка Р не лежит на
поверхности S, то будут справедливы формулы
y_dU_ v_dU 7 -ЁН. С ди
Л ~~ дх ' ду ' ^~dz' h dL '
Поэтому функцию U, определенную формулой (1.17), назовем силовой функцией
материальной поверхности 5 или силовой функцией простого слоя Т, или,
наконец, потенциалом простого слоя, лежа-
щего на поверхности S.
Потенциалом простого слоя приходится пользоваться в различных областях
знания, в частности, в астрономии и в гравиметрии.
Действительно, известно, например, что кольца Сатурна
имеют крайне незначительную толщину (ее оценивают в 15 км, В то время как
наружный диаметр кольца составляет около 275 ООО км). Поэтому в небесной
механике при изучении движений близких спутников Сатурна, когда
необходимо учитывать и притягивающее влияние кольца, последнее можно
рассматривать с достаточной степенью точности как плоское материальное
круглое кольцо и его притяжение определять силовой функцией вида (1.17).
Точно так же, изучая гравитационное поле нашей Галактики и учитывая
малость ее толщины по сравнению с ее диаметром, можно моделировать эту
галактику плоским круглым диском и опять воспользоваться потенциалом
простого слоя типа (1.17).
Наконец, если в гравиметрии рассматривается рудный пласт, толщина
которого мала по сравнению с длиной и шириной, то часто бывает возможно
пренебречь этой малой толщиной и рассчитывать притяжение пласта как
притяжение куска материальной поверхности, потенциал которой определяется
формулой (1.17).
Приведенные примеры показывают, что чисто математическое понятие простого
слоя, или материальной поверхности, имеет реальный смысл и с успехом
может быть использовано в различных приложениях.
2. Теперь рассмотрим второй случай, когда притягивающее тело
представляет собой некоторую материальную линию.
Пусть в системе Охуг дана некоторая математическая пространственная линия
С или некоторый кусок такой линии, и пусть в каждой точке М(хг, у', г')
линии С определена некоторая функция точки 6(Af)=6(x', у', г'), которую
будем называть линейной плотностью линии. Так как точка М принадлежит
пространственной линии, то три ее координаты связаны уравнениями этой
линии, которые можно написать в виде
Ф(*', у\ z')=0, Ч^*', у', г')-О,
26
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПРИТЯЖЕНИЯ
[ГЛ I
или, в параметрической форме,
л-' = <р(т), / = 1|з(г), 2'=хЫ,
где т - криволинейная координата на линии, за которую мы можем принять
длину дуги s, отсчитываемую от некоторой точки линии М0, принятой за
начальную.
Вообразим, что точка М есть центр весьма малой дуги линии, которую будем
называть элементом дуги и которую обозначим через ds. Величину б ds
естественно опять-таки назвать элементом притягивающей массы материальной
линии и положить
dm = 6(M) ds.
Рассматривая опять dm как массу материальной точки, помещенной в точке М
линии, мы, совершенно так же как и выше, составим выражения для
составляющих силы притяжения материальной линии, действующей на любую
точку Р(х, у, г), в виде
X = f Y = f jjt-^rLdm' Z = f
(C) (C) (C)
где интегрирование распространено на всю линию С, занятую притягивающей
материей. Теперь, так же как и выше, введем в рассмотрение функцию
U(x, у, z) = f (1.18)
(С)
и покажем, опять так же как и ранее, что если точка Р не принадлежит
линии С, то имеем
у _ dU V - dU 7-dU F - dU
Л -~57' ду ' ^~~дГ' Г^ - Ж'
Эту функцию U назовем поэтому силовой функцией (или потенциалом)
материальной линии С.
Понятие материальной линии кажется сначала также чисто математическим,
абстрактным понятием, так как реальные тела природы заведомо имеют три, а
не одно, измерения. Однако часто приходится рассматривать тела, два
измерения которых весьма малы по сравнению с третьим. Таковы, например,
длинные тонкие стержни или длинные куски тонкой проволоки и т. п. В
гравиметрии можно встретить рудные образования в виде длинных жил,
поперечные сечения которых весьма малы по сравнению с длиной. Каждое
такое тело, имеющее вид длинной "кишки", начиненной материей, можно
приближенно рассматривать как материальную линию и определять потенциал
такого
§7]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
27
тела с помощью однократного криволинейного интеграла, что позволяет
значительно упростить рассматриваемую задачу.
Силовой функцией материальной линии приходится пользоваться также и в
небесной механике при изучении движений небесных тел, как естественных,
так и искусственных.
Так, в методе Гаусса вычисления вековых возмущений от планет, движущихся
по эллиптическим или круговым орбитам, показывается, что действие
