Сборник задач по физике с решениями и ответами. Часть III. Электричество и оптика: Для учащихся 9-11 классов, абитуриентов и студентов младших курсов - Долгова А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
3.17. Так как омическое сопротивление контура пренебрежимо
мало, то энергия, запасенная в контуре и равная сумме энергий
142 электрического поля конденсаторов WE(t) и магнитного поля катушек Wm ((), не зависит от времени, т.е.
We (?) + Wm (t) = const.
По условию задачи в некоторый момент времени /(/') = 0. Это означает, что Wu (t') = 0 , а энергия электрического поля равна энергии, запасенной на этот момент конденсаторами, т.е.
В любой другой момент времени в силу закона сохранения энергии должно выполняться соотношение:
где I — ток в контуре.
Отсюда видно, что амплитудное значение тока Zmax достигается в том случае, когда энергия электрического поля минимальна. Этот минимум удобно найти, представив WE{t) как функцию зарядов, находящихся на конденсаторах, и воспользовавшись сохранением заряда. Обозначим х заряд на обкладках конденсатора C1 в некоторый момент времени. Тогда заряд q'2 на обкладках конденсатора C2 в тот же момент времени q'2 = Q - X, где Q = Ч\ ~ 42 = ОД ~~ C2JZ2 — полный заряд в контуре. Энергия электрического поля
2 C1 IC2
143 QC \
We (X) минимальна при хэкс =-, а значение ее при
Ci +С->
W1
O2 (CxUl-C2U2)2
2 (C1+C2) 2 (C1+C2) Следовательно,
CxU2x C2Ul +^max , (CxUx-C2U2)2
--1--=--Y ¦
2 (C1 +C2)
Zmax = (Ux + U2) J-c^-- * 6,1 А.
max 1 2 Ч (q +C2XL1 +L2)
3.18. Zmax =IfZ1 -U2U-c^-«2,4А.
max I 1 у (C1 + C2 )(LX + L2)
Указание. См. решение задачи 3.17.
3.19. Из условия сохранения заряда в контуре при возникающих в нем колебаниях
Ч\ + 4i =C1Uq
находим минимальную энергию электрического поля в контуре
C2IJ2 wmm =. cI uQ
2 (C1 +C2)
Амплитудное значение силы тока в контуре соответствует максимуму энергии магнитного поля и минимуму энергии электрического поля. Из закона сохранения энергии
^Wo , (A + Ll )!р M/min ^ (L\ + L2 )Imax
—;— +-;-= wE +---
144 следует
c^ »6,9 А.
(С, +C2XI1 +L2)
Указание. См. решение задачи 3.17.
3.20. В процессе электромагнитных колебаний в контуре заряды q\ и <72 конденсаторов C1 и C2 соответственно меняются со временем как по абсолютной величине, так и по знаку, но суммарный их заряд неизменен и равен 0 = <7] (0 + q2 (t) = Cj Uq .
Так как омическое сопротивление контура пренебрежимо мало, то в процессе колебаний не меняется и полная энергия, запасенная в контуре. Эта энергия равна сумме энергий электрического поля конденсаторов и магнитного поля катушек. С учетом начальных условий закон сохранения энергии при колебаниях имеет вид
wE(,)+w^J-LlMl+^,
г. ,Г,«
2. C1 /C2 Z
Из этого уравнения видно, что амплитудные значения зарядов на конденсаторах соответствуют максимуму энергии электрического поля WE(t) и минимуму энергии магнитного поля Wm ((), которые достигаются при токе в контуре 7(/) = 0. Для этого экстремального случая закон сохранения энергии запишется в виде
(L1+L2)7q2 | C1U2 =gl2(0 | qj(t) 2 2 2Cj 2 C2
Решение этого уравнения совместно с уравнением, выражающим закон сохранения заряда, дает
C1C
q'— =
C1+C2
U0Jvi^C2XLl+Wi
C1C
1^2
<23-10~5 Кл.
145 3.21. После размыкания ключа K в контуре, состоящем из катушки индуктивности L, конденсатора С и параллельно включенных сопротивлений г и R, возникнут свободные затухающие электромагнитные колебания, в результате которых энергия электрического поля Wq , запасенная в конденсаторе, и энергия магнитного поля тока W^, запасенная в катушке индуктивности, выделится в форме теплоты на сопротивлениях г и R. Пренебрегая потерями энергии на излучение электромагнитных волн, закон сохранения энергии можно записать в виде
Wc+Wb=Qr+Qr,
ш Се2
где Wc =—---запасенная энергия электрического поля,
Lll
W^ = —---запасенная энергия магнитного поля тока,
, Є (R + r)
Iq =--ток, проходящий через катушку индуктивности
г ¦ R
при замкнутом ключе К, Qr и Or — количество теплоты, выделившееся на сопротивлениях г и R соответственно. Теплота, выделившаяся на сопротивлениях, представляет собой работу тока. На каждом из участков, содержащем сопротивления г или R, эту рабо-
U2
ту за промежуток времени dt удобно посчитать как dQr =-dt и
г
U2
dOR =-dt. Тогда работа тока на сопротивлениях г и R за все
R
время Т, когда в контуре были электромагнитные колебания, равна
QrJf-IMdt ^JlUlMd,
О о
Q R
соответственно. Отсюда —— = —. Выражая из этого соотношения
Qr г
Qr и подставляя его в закон сохранения энергии, получим
2 r2R(r + R) 146 3.22.
Qr+Qr =
I0 = e/R;
Qjl- = L Qr R
Ce'
LIo
Qr 0,105 Дж.
IR2 (r + R)
Указание. См. решение задачи 3.21.
3.23. На протон, движущийся в магнитном поле, будет действовать сила Лоренца Fsi = evB, перпендикулярная его направлению движения и линиям индукции магнитного поля. Вследствие этого протон будет двигаться по окружности, радиус которой R можно найти из 2-го закона Ньютона:
та = ¦
mv
R
= evB.
Отсюда R =
mv
4ЇЕі
т
і 14.5 см.
еВ еВ
Чтобы поле изменило направление движения протона на противоположное, его протяженность L должна быть
