Сборник задач по физике с решениями и ответами. Часть III. Электричество и оптика: Для учащихся 9-11 классов, абитуриентов и студентов младших курсов - Долгова А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
93 возможны два варианта движения и взаимодействия частицы и сферы.
В одном случае, когда скорость налетающей частицы v меньше некоторой минимальной скорости vmjn, необходимой для попадания частицы внутрь сферы, частица и сфера сблизятся до некоторого минимального расстояния между ними. После этого частица изменит направление своего движения на противоположное и объекты взаимодействия разлетятся в разные стороны.
В другом случае, когда v > v ІТ1Ш , частица попадая внутрь сферы через одно отверстие, вылетает из нее через другое и удалится на бесконечность. В силу симметрии взаимодействия частицы и сферы при разных положениях частицы относительно сферы, а также постоянства энергии взаимодействия зарядов частицы и сферы, когда частица движется внутри нее, скорости сферы vc и частицы V4 при удалении последней на бесконечность примут первоначальные значения, т.е. v4 = v, vc = 0.
Для определения минимальной скорости воспользуемся замкнутостью системы «частица + сфера» и применим к ней законы сохранения импульса и энергии:
w2vmin = m\u + m2u,
wIvLi _ Jc Ч\Я2 , fflI"2 , rnIu^ 2 R 2 2'
При записи уравнений учтено, что минимальная скорость частицы, необходимая для ее проникновения в сферу, определяется электростатическим потенциалом поверхности сферы <ре, т.е.
Фс =к — , где R— радиус сферы. Помимо этого в этом случае R
скорость частицы относительно сферы должна быть равна нулю, т.е. в момент проникновения внутрь сферы скорости частицы v4 и сферы vc равны: v4 = vc = и . Решая уравнения относительно vmin, находим
_ Iгд\чгк(щ +?)^;,.,.
vIiiin =J-D-A 2,5 м/с.
у Rm2Yti1
94 Таким образом, частица пролетит сквозь сферу и будет иметь на бесконечности скорость, равную первоначальной
v'4 =v = 5 м/с, а сфера придет в состояние покоя:
Vc=O.
1.41. Законы сохранения импульса и энергии для системы «точечный заряд + кольцо» имеет вид:
mIVmin =mxv + m2v,
fflIvLn _ mIv2 , m2V2 , j. cMl
2 2 2 R
Здесь Vinin — скорость точечного заряда на бесконечности, v — скорости точечного заряда и кольца в момент, когда заряд оказывала^
ется в центре кольца, ——=¦--потенциальная энергия кулонов-
ского взаимодеиствия точечного заряда и заряда кольца в тот же момент.
Отсюда v.
(mI + w2_) _ ^ Io3 м/с.
\ Rm^m2
Указание: см. решение задачи 1.40.
1.42. Представим эквивалентную схему цепи как показано на рисунке.
Здесь С — емкость всех остальных пар конденсаторов C1 и C2, кроме первой. Эквивалентная емкость цепи AB Ci3kb может быть тогда найдена, как
А 0-
C1
HH
Со
В0-
C
С экв C2 + С
или
г
экв
C1 (C2 + С) С + C1 + C2
95 При достаточно большом числе пар конденсаторов C1 и C2 подключение к цепи AB очередной пары практически не изменяет емкость цепи. Поэтому, не делая большой погрешности, можно по-
ложить Сэкв « С.
Решая получающееся квадратное уравнение, найдем С>
IC2 + 4С С —С і \
-212 = (л/3 - 1)мкФ « 0,73 мкФ.
2
1.43. При уменьшении расстояния между пластинами отключенного от источника плоского воздушного конденсатора в п раз, его емкость увеличивается во столько же раз, а заряд на обкладках остается неизменным. Работа внешней силы по изменению расстояния между обкладками равна разности энергий конечного и начального состояний конденсатора, т.е.
InC 1С 1 п 4
1.44. Суммарный заряд на пластинах конденсаторов не изменится, а емкость после их соединения равна сумме емкостей (параллельное соединение), т.е.
C = C1 +C2,
C1U1-C2V2 =(C1J-C2)U1
U— напряжение на обкладках конденсаторов после их соединения. При записи закона сохранения заряда учтено, что конденсаторы соединяются разноименно заряженными пластинами. Суммарная энергия конденсаторов до их соединения
2 2
после соединения
W :JC1+C2)U2 = (C1CZ1 -C2U2)2 f 2 2(Cj +C2) '
96 а выделившаяся энергия
д W = Wi-Wf = СіС2(^+{/2)2«8,4-10-2Дж. ' f 2 (C1+C2) ^
1.45. Система из заряженных сфер обладает некоторой начальной энергией ffp134 . После соединения сфер проволокой их заряд и
энергия Wp0ii становятся равными нулю. Запасенная энергия выделяется в проволоке и в самих сферах в виде джоулева тепла, величина которого Q в соответствии с законом сохранения энергии равна
О = -AWp = -(жркон - Жрнач)= W™4.
Учитывая, что исходные заряды сфер были одинаковыми по величины, но противоположными по знаку, энергию системы можно рассчитать как энергию заряженного сферического конденсатора. Энергия конденсатора любой формы дается выражением:
где q — его заряд, U — напряжение на обкладках. Эту формулу легко получить, если посчитать работу, которую необходимо совершить для того, чтобы зарядить конденсатор, перенося заряд малыми порциями с одной обкладки на другую. При этом нужно учитывать, что первая порция заряда переносится через нулевую разность потенциалов, а каждая следующая переносится через разность потенциалов U = q/C, пропорциональную уже перенесенному заряду.
Напряжение на обкладках конденсатора, равное разности потенциалов на поверхностях сфер U = Ф] - Ф2, посчитаем, воспользовавшись принципом суперпозиции. Будем для определенности считать заряд внутренней сферы положительным. Зависимость потенциала электрического поля, создаваемого зарядом каждой из сфер, как функции расстояния г до центра сфер показана на рисунке.
