Сборник задач по физике с решениями и ответами. Часть III. Электричество и оптика: Для учащихся 9-11 классов, абитуриентов и студентов младших курсов - Долгова А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ф:
Фо
= 5 В.
1.10. В данном случае напряженность поля E в точке А, являющуюся векторной суммой полей Ej (i = 1, 2, 3), создаваемых каждым из зарядов qj
Ё = ЁХ+Ё2+ЁЪ, удобнее находить, вычислив предварительно проекции вектора E на оси выбранной системы координат,
Er — Е]
т.е.
]х+Е2х+Е
3* :
Ey — Е\у
- Е2у + E3y ,
EZ = Е\ Z + Е
Iz
+ E
3z
Модуль вектора E будет равен
E = ^(Е\х + Е2х + Е3х)2 + (Е\у + Е2у + Е3у)2 + (Е\Z + Е2г + Е3zf ¦
Принимая во внимание особенности расположения зарядов в пространстве, удобно в качестве системы координат взять декарто-ву систему координат с началом в точке А и осями, направленными вдоль ребер куба. Тогда (см. рисунок) в случаях:
70 a) Er =E-ir = к ———гг~ * cos et • cos 45° = к —
/ _ V, ^
Ey =E2y +E3y =k , cos45° + k , cosa -sin 45°:
(Saf
=k^+k-q
2 a1 Ybai
-U-L
Yi SYa2
E, =Ei, +E-,, + E^ =k-2T + k
a~ (Y>a)
Я ,и 2Ч •„ /і со , ,, M
-sin 45° + к
sin a =
(
1 1 1 ?
E = ^E2 +E2y +Et = ^,I- +
A _kq_ 1
a
J_ J_
\2 ( +
, 1 1+vf+v?
6)? = 4J2
(
1 1
+ •
2V2 Yi
+
\2
2 +
Yl
B) E = ^J2
a
1 J2_
S + S
+
\2
1 +
r)E=€h/
n 3 2
2 + —^ + —— +
__т _____ т _ +
a2 V 27 " Iv" " 2V2 "Зл/З J "U Y2+lS)
1.11. Пусть заряд qo находится в некоторой точке А внутри сферы. Проведем диаметр сферы, проходящий через эту точку.
Ввиду симметрии распределения заряда по поверхности сферы относительно любого ее сечения, проходящего через этот диаметр, а в самом сечении-симметрии распределения заряда относительно диаметра, можно утверждать, что заряд может двигаться только
71 вдоль этого диаметра. Рассмотрим два узких конуса внутри сферы с вершиной в точке А и с углом при вершине ?, осью которых будет этот диаметр (см. рисунок) и сравним силы, с которыми заряды, находящиеся на соответствующих шаровых сегментах, будут действовать на точечный заряд .
Величина зарядов и q2, находящихся на шаровых сегментах qi =Sx - a, q2 =S2 - а, су — поверхностная плотность зарядов на сфере, Sj и S2 — площади шаровых сегментов. При малых углах
P
3 2 2
qx «-Р-47ІГ, СУ = ?rj CT, 471
? 2 2 q2 « — • Anr2 а = ?r2 ст ,
47t
Z1 и r2 — расстояния от точки А до соответствующего сегмента
сферы. При произвольных углах ? коэффициент пропорциональности между зарядом сегмента q и расстоянием до него от точки А будет некоторой функцией угла при вершине конуса /(?) = C(?), но одинаковой для обеих конусов, т.е.
^1=C(P)Zi2Oj q2 =C(P)^22CT.
Следовательно, на точечный заряд q0, помещенный внутрь равномерно заряженной сферы, со стороны шаровых сегментов будут
72 действовать силы, зависимость которых от расстояния г и параметра а будет иметь вид
2
F = kaqo C(?) = кСф)а '
Возможны два варианта поведения точечного заряда.
I вариант. Заряды и поверхностный заряд сферы — разноименные. В этом случае F— сила притяжения. Поэтому, если а > 2 (а = л[5 , а = V7 ), то для r2 >rx F2 <Fj и заряд упадет на ближний к нему участок поверхности сферы.
Если а < 2 (а = , а = -\/з ), то для r2 > rx F2 > Fj и первоначально покоившийся заряд будет двигаться ускоренно до центра сферы, а затем начнет замедляться и остановится с другой стороны от центра сферы на расстоянии от поверхности, равном rj. После остановки заряд q0 вновь начнет двигаться, но уже в обратном направлении, т.е. заряд qq будет совершать колебательное движение.
II вариант. Заряды q0 и заряд сферы — одноименные. В этом случае F — сила отталкивания.
При а = V5 и а = заряд будет совершать колебательное движение.
При а =
Л и а = л/3 заряд упадет на ближний к нему участок поверхности сферы.
1.12. Металлический цилиндр является проводником. Переносчиком заряда в нем служат свободные электроны. При вращении цилиндра эти электроны удерживаются на определенном расстоянии г от оси цилиндра, так как на них действует кулоновская сила Fk, величина которой пропорциональна напряженности электрического поля в этой точке, т.е. Fk =еЕ.
Из уравнения динамики для вращающегося электрона:
2
та R = eE
следует, что E =-« 2,25 • 10 В/м.
73 1.13. Так как поперечные размеры поршней велики по сравнению с расстоянием между ними, то электрическое поле, создаваемое зарядом, находящимся на поршнях, можно найти как поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
(Т
E = -
2є0є
где ст = — — поверхностная плотность заряда. Относительная ди-S
электрическая проницаемость воздуха є = 1. Сила Кулона, с которой поршни притягиваются, равна
?2
F = QE =
2Sz0
Давление воздуха в промежутке между заряженными поршнями:
F - , Q2
P = Po +J = PO +¦ з ¦ ° 2S E0
Так как температура в системе постоянна, то объем и давление в промежутке между поршнями для случаев заряженных и незаряженных поршней связаны законом Бойля — Мариотта:
pV = P0V0.
В свою очередь V = Sd, a V0 = Sd^, следовательно, расстояние между поршнями уменьшится в
к = — = = 1 л--Q--« 2,25 раза.
