Сборник задач по физике с решениями и ответами: Механика: Для абитуриентов и учащихся 9 — 11 классов - Долгова А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
dt
Знания математики в рамках школьной программы позволяют указать рациональную форму записи уравнений движения, удобную при решении задач.
Движение с постоянной скоростью v = const (не путать с равномерным движением V = |v| = Const). Проинтегрируем левую и правую части равенства (1.3) в пределах от tq до t, где tg, t — время. соответствующее началу и произвольному моменту движения. Получим
dr
j — dt = v Jt//
dt
tо
или
F(0-r(/0) = v(r-/0).
Обозначим r(t()) = r0. тогда
F(t) = F0+v-(t-t0). (1.6)
При tg = O уравнение движения с постоянной скоростью принимает вид
F(t) = F0+v-t. (1.7)
Движение с постоянным ускорением a = const. Проинтегрируем левую и правую части равенства (1.5) в пределах от tQ до t. Действуя аналогично предыдущему случаю получим
f—dt = a [dl. 1 dt *
tO tO Отсюда
v(0-v(/0) = 5-('-*o)-
Обозначим v(/q ) = Vq , Т.е.
v(t) = v0+a-(t-t0), (1.8)
и проинтегрируем обе части равенства (1.8) в тех же пределах.
'-ClF
dt
<0
Интегрирование даст
-(t-t.))2
r-^=\0-(t-t0) + ay " <1.9)
При 10=0 получим систему уравнений движения с постоянным ускорением:
v(0 = v0+5/;
St2 (1-Ю)
HO = F0 +V0/ +
При решении некоторых кинематических задач на прямолинейное движение иногда оказывается полезным геометрический смысл понятий модулей скорости, перемещения и пути, проходимого материальной точкой, а именно:
изменение модуля скорости тела за промежуток времени At = = t2 -t\ равно площади под графиком зависимости ускорения a(t) в этом промежутке; если не изменяется направление движения:
перемещение тела за промежуток времени At равно площади под графиком зависимости v(/) в этом промежутке, где v — проекция вектора V на ось вдоль направления движения;
путь, пройденный телом за промежуток времени At. равен площади под графиками зависимости jv(0| в этом промежутке.
7 Вектор ускорения материальной точки или выделенной точки твердого тела (в этом случае его называют полным ускорением) удобно разложить на два взаимно перпендикулярных компонента.
Тангенциальное ускорение ат характеризует изменение модуля скорости и направлено по касательной к траектории - ах • т, где Ciz — проекция вектора ускорения a на направление скорости, т — единичный вектор (|т| = 1), направление которого совпадает с
Alvl Jlvl
направлением скорости v . аТ = Iim -=- (производная мо-
Дг—>0 At dt
дуля скорости по времени).
Нормальное ускорение ап характеризует изменение скорости по направлению и перпендикулярно вектору скорости ап=ап-п , где п — единичный вектор, перпендикулярный вектору скорости, ап — модуль нормального ускорения.
На рисунке представлен пример разложения полного ускорения на две составляющие a = 5Z + an. Случай А — скорость тела возрастает, случай Б — скорость тела убывает.
Любой, достаточно малый участок плавной (без изломов) траектории. можно аппроксимировать (приближенно представить) дугой окружности. При малой длине рассматриваемого участка траектории величина скорости на нем остается практически постоянной и движение тела представляет собой равномерное движение по окружности, т.е. тело движется с центростремительным ускорением, направленным к центру окружности и равным по величине
ац.с = ~ г где R — радиус окружности, v — скорость тела на данном участке траектории.
8 Рассмотрим малый участок траектории между точками М\ и M2 - и выделим точку M в середине этого участка. Проведем через точки Mі - M2 и- M окружность. Центром этой окружности является точка С. лежащая на пересечении перпендикуляров к касательным, проведенным через ТОЧКИ Л/] и M2 ¦ При приближении точек MI и M2 к точке M точка С будет стремиться к некоторому предельному положению, которое называется центром кривизны траектории в точке М. а предельное значение радиуса окружности, которая была использована для аппроксимации траектории — радиусом кривизны траектории в точке М. Соответственно величина нормально-
-J
го ускорения в точке M оказывается равной ап =-, где v —
•^кр
мгновенная скорость тела и RKp — радиус кривизны в точке M (Rk^=CM).
В некоторых задачах движение тел одновременно рассматривается по отношению к различным системам отсчета. Если скорости много меньше скорости света в вакууме, то справедлив закон сложения скоростей:
VH=Vn+Vo- (I-H)
Скорость движения материальной точки по отношению к системе отсчета, принимаемой за неподвижную v н. равна векторной сумме скоростей движения точки в подвижной системе V1J и скорости движения подвижной системы относительно неподвижной v() .
При решении ряда задач удобно пользоваться принципом взаимной независимости движений.
В применении к твердому телу этот принцип позволяет рассматривать движение любой точки твердого тела как сумму двух простейших движений: поступательного, и вращательного. В част-
9 ности. скорость произвольной точки твердого тела Vt можно представить как
V T = vBp + vIIOCT -
где Viioct —скорость поступательного движения, Vbp —линейная
скорость точки, обусловленная его вращением.
