Сборник задач по физике с решениями и ответами: Механика: Для абитуриентов и учащихся 9 — 11 классов - Долгова А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
2v0 sin?cos(a + ?)
2v 0 sin ? g cos a
— момент падения,
g cos"a
581.23. Уравнения движения мяча:
х(/) = V0 cos(a •+- ?)/ + g sin р •
y(t) = v0 sin(a +?)/ -gcos?¦
Ось X направлена вдоль склона, ось Y перпендикулярна линии горизонта
Решая эти уравнения, найдем / =
2 v;
. В правильности от-
gcos"?
вета убеждаемся, подставив сюда ? = 0. Получим результат, который и следовало ожидать при решении задачи о теле, брошенном под утлом к горизонту (см. задачу 1.18).
1.24. Очевидно, что выполнение условия Jmax > h не гарантирует вылет мяча из ямы. Необходимым условием является у > h при х = / Решаем систему .
X = I7
X = V0Cosa -t: у = Vq sin a • t - g
t
I
=> t =-:.
2 V0Cosa
у = I- tga-
gl2
2 ? 2v0 cos" a
a
59При подстановке численных значений параметров нетрудно убедиться, что условие у > h выполняется, т.е. мяч из ямы выле-гит '
1.25. Уравнения движения мяча:
Начало системы координат в точке бросания, ось X направлена вдоль линии горизонта в сторону бросания мяча, ось Y перпендикулярна к оси X и направлена вверх. Минимальная скорость мяча vOimn может быть найдена из условия, чтобы траектория мяча в некоторый момент времени прошла через точку с координатами X = I. у = -h .
Решая получающуюся систему уравнений, находим
В правильности ответа можно убедиться, подставив сюда, например, h = 0 и получив тот же результат, который следует ожидать при решении задачи о теле, брошенном под углом к горизонту.
1.26. Обозначим высоту, с которой падает тело h. Скорость тела в момент удара о наклонную плоскость равна \ = ^lgh . Так как удары абсолютно упругие, скорость тела после удара не изменится, а угол его вылета по отношению к наклонной плоскости будет равен (7С / 2 - а).
Выберем систему координат, совместив начало координат с точкой падения тела на наклонную плоскость, а оси координат направим так, как показано на рисунке.
Тело будет двигаться вдоль оси X с ускорением ад- = g sina и начальной скоростью Xq^ =Vsina, а вдоль оси Y с ускорением
x(O = v0 cosa t,
60а у = -g cosa и начальной скоростью \()у = vcosa . Уравнения движения вдоль осей X и Y:
t2
V = v cosa t — g cosa--; х
* 2
При высотах падения тела И, меньших некоторой Amax. тело будет всегда попадать в «ловушку». Эту высоту можно найти, определив наибольшее удаление тела от наклонной плоскости Jmax и сравнив его с расстоянием H от точки В до плоскости -H = BD . Чтобы узнать Jmax, определим промежуток времени между двумя последовательными ударами тела о плоскость. Полагая J = Ot найдем время первых двух касаний тела с плоскостью Z1 = 0 и 2v
/-> = —. а также промежуток времени между ними g ¦
ISi = Ii ~t\ = —. Этот промежуток неизменен между любыми по-g
следовательными соударениями тела с плоскостью, так как при абсолютно упругих столкновениях уравнения движения тела неизменны.
Дальше всего тело удалится от наклонной плоскости в момент At V
времени / = — = — и это удаление составит: 2 g
= V sina • t + g sina--.
612 к Jrnax =:—cosa = Zicosa. 2S
fj
Если Jmax <Н. т.е. Zi <Zimax =-«1,41 м, то тело в любом
cosa
случае будет захвачено ловушкой.
H
Если h = Zimax =-, т.е. Jmax = H. то координаты точки мак-
cos а
симального удаления тела от наклонной плоскости при первом отскоке (Xmax , Jmax) находятся вне ловушки (см. рисунок), так как
3v2
xinax =Х2І12 =V0/ g)=O) = ——sma = 3Zisma =
2 g
= 3#tga</ = yl?>,
(по условию задачи H = 1 м, a = 45°, AD = 4 м). Поэтому у тела есть шанс захвататься «ловушкой» при первом отскоке и при h > Zimax. Максимально возможная высота падения тела в этом случае Zipp может быть найдена из условия прохождения траектории тела через точку В горизонтальной полуплоскости, т.е. координаты точки касания должны быть B(LH):
'2
H = vcosa - 2 cos a —;
2
, • • '2 / = vsina • t + V sm a —.
2
Решая эти уравнения относительно t и приравнивая их друг другу. после несложных преобразований найдем
62Ap =
tfl^r+tga'
8 sin a
/
--tga
H
Таким образом, в первом случае (H = 1 м, 1 = 4 м) тело попадет в «ловушку», если высота падения будет меньше Arp, т.е.
h < Arp «1,5 м. Во втором случае тело попадет в «ловушку» при
падении с высоты h < 3,5 м.
1.27. Полное ускорение, с которым движется тело, во всех точках траектории одинаково и равняется ускорению свободного падения g . В начальной точке траектории (см. рисунок):
от = -g- sm a , an=g • cos a,
2 2 O V0 V0 Kp =---
a„
g •cos a
В наивысшей точке подъема тело движется горизонтально со скоростью V = V0 cosa . В этой точке ускорение тела равно g и направлено оно вертикально вниз. Следовательно,
ах =0> ап zzS,
Лкр =
1 2 2 V' _ V0 - cos a
«и S
Из приведенного расчета видно, что в верхней точке траектории тела, брошенного под углом к горизонту, радиус кривизны наименьший.
1.28. Касание будет единственным только в том случае, когда верхняя точка полусферы и верхняя точка траектории камня совпадут, т.е. вертикаль, проходящая через эту общую точку, будет осью