Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
daJdz-{- бах—а2 а30 ехр (—6z) sin? = 0; da.ijdz-\-ba2—а2 ai азо exP (—^z) sin ?‘ = 0;
—Ak -j- fo1 — + a2 — ] a30 exp (— 6z) cos ? = 0.
dz \ «1 <h j
(5.3.15)
Решение укороченных уравнений в приближении заданного поля накачки в отсутствие волновой расстройки. Предположим, что условие синхронизма выполняется точно (Ak = 0), и перейдем к переменным ип и I [см. (5.3.7)]. В
294
Гл. 5. Параметрическая генерация света
этом случае система (5.3.15) принимает вид diiy/dl,—ах и2 а30 sin ? = 0; du2/d?,—g2 % aso sin ? = 0; f (5.3.16)
d?/d| + (ai m2/“i + a2 Ы1/Ы2) «30 cos ?=0.
Поделив третье уравнение (5.3.16) на первое и воспользовавшись тем, что dW = — d cos ?/sin ?, получим
— cos? = (l + . (5.3.17)
V ffj u| / u-y
Одним из решений этого уравнения для фазы ? является решение
cos ? = 0; ? = я/2. (5.3.18)
Фаза ? = я/2 — оптимальная для параметрического усиления волн.
С учетом (5.3.18) преобразуем (5.3.16) к виду
dui/db,—01 и2 а30 = 0; du2/d%—o.z щ а30 = 0.
(5.3.19)
Решение системы (5.3.19) ищем в виде
ип = Сп ехр (— ql)\ «=1,2. (5.3.20)
Подставляя (5.3.20) в (5.3.19), находим qC, 0i Я30 С2 = 0; уС2 02 Я30 Ci — 0.
(5.3.21)
Приравняв нулю детерминант этой системы, получим q = = ± азо]/0102. Таким образом, общее решение системы уравнений (5.3.19) может быть представлено в виде
иг = ехр (а30УоjO^) + D2 ехр {— a30Vo^ll)\ (5.3.22а)
и2 = Вх ехр (cisoVoiPbl) + В2 ехр (— azoV^il)- (5.3.22б)
Воспользовавшись далее граничными условиями
tti (0) #10 > ^2 (Q) ^20» 1 (5 3 23)
{dtliI= 0 ’ ^1 ^20 ^30> (^^2/^ё)&=0 ^2 ^10 ^30» )
5.3. Параметрическое усиление
295
определяем коэффициенты Въ В2, Du D2. Окончательно по-лучаем
«1 (I) = «ю ch (Г0ё) + а20У ага2 sh (Г0|); (5.3.24а)
«2 (I) = «го ch (Г0ё) + a10Vс2IGy sh (Г0|), (5.3.246)
где Го = а301/'а1а2.
Будем считать, что на входе нелинейного кристалла имеется наряду с волной накачки только сигнальная волна (а20 = 0). Переходя от ип, ? обратно к ап, г, получаем из (5.3.24)
«х (2) = «ю ехр (— бг) ch {а^о1о2 х
X [1— ехр (— 6г)]/6}; (5.3.25а)
«2 (z) = «ю ехр (— 6z) sh {а30|/а^ X
X [1 — ехр (— 6z)]/6}. (5.3.256)
Используя (5.3.19) и учитывая, что
^ = J- (ап ебг) — = (-^2. + 8ап е«*) е«г,
dl dz v п ’ d\ \ dz ^ п ) ’
находим выражения для производных dajdz и da2/dz на входе кристалла:
(dajdz)^о — — баю < 0; (5.3.26а)
(da2/dz)z=о = ОгЯщЯзо > 0. (5.3.266)
Из (5.3.26а) видно, что вначале (при достаточно малых г) амплитуда сигнальной волны уменьшается. Это связано с тем, что не только волна накачки, но и сигнальная волна отдает часть своей энергии холостой волне.
Условие усиления. Найдем условие, при выполнении которого усиливается сигнальная волна. Прежде всего заметим, что на практике обычно выполняется неравенство
6z « 1. (5.3.27)
Используя это неравенство, преобразуем (5.3.25а) к виду a^z) = a10 ехр (— 6z) ch (a^Ya-iP#)- (5.3.28)
Рассматривая z как длину параметрического усилителя, равную нескольким сантиметрам, применим приближенное
296
Гл. 5. Параметрическая генерация света
соотношение
ch {а30Уаха2г) « [ехр (а30'Кст1ст22)]/2, (5.3.29)
после чего получаем
ах (г) « а10 ехр [(а^Уо^ — б)г]/2. (5.3.30)
Из (5.3.30) следует, что амплитуда сигнальной волны аг будет возрастать, если
a3oV^i>8. (5.3.31)
Это неравенство представляет собой необходимое условие усиления сигнальной волны.
На рис. 5.8 представлены определяемые соотношениями
(5.3.25) зависимости амплитуд аг и а2 от (напоминаем, что рассматривается случай, когда а20 = 0). Чтобы
найти значение (а30У о1о2г)1, при котором амплитуда а1 достигает минимума, можно использовать (5.3.28). Приравнивая нулю производную функции аъ находим
(a30KGi(r2z)i = Arth (6/a30l/'a1(r2). (5.3.32)
Из (5.3.5) видно, что a.i0|/^g1g2 изменяется с частотой ' о»! как функция ]/&)1(©3 — %); она обращается в нуль при o)j = 0 и %= (о3 и достигает максимума при =
= со3/2, т. е. в вырожденном режиме. Следовательно, усло-
вие усиления (5.3.31) можно рассматривать как требование, чтобы частота % удовлетворяла неравенствам
fix < < й2, (5.3.33)
где Qi и Q2 определяются из уравнения a30j/(T1cr2 = б; см. рис. 5.9. Подчеркнем, что максимальный коэффициент усиления достигается в вырожденном режиме.
Заметим, что здесь рассматривался случай точного выполнения синхронизма. При наличии волновой расстройки возможны дополнительные ограничения на ширину полосы усиливаемых частот.
Решение укороченных уравнений в приближении заданного поля накачки при наличии волновой расстройки. Пусть взаимодействующие волны распространяются в направлении, не совпадающем с направлением синхронизма (Ak ф 0). Предположим, что б = 0, и ограничимся рассмо-
5.3. Параметрическое усиление
297
Рис. 5.8
Рис. 5.9
(5.3.34)
трением вырожденного режима (&>! = со2 = со3/2, gx = а2, Oj = а2). В этом случае система уравнений (5.3.15) принимает вид
dajdz—ах а30 sin ? = 0; dW/dz—Ak + 2Gj a30 cos ? = 0.
Примем ? (0) = я/2 и будем считать, что в первом приближении cos ? (г) « 0. Тогда из второго уравнения (5.3.34) следует
? (г) « A kz + я/2. (5.3.35)
С учетом (5.3.35) перепишем первое уравнение (5.3.34) в виде
