Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
-f-A(z, /)+—^ Ai(z’ t) + B1A1 =
dz Ui at
= —10! A\ A, e_/Afe;
—— A2 (z, t)-\-------------(z> 0 + 62^2 =
dz u2 dt
= —102 Ai e‘Ate .
(3.4.11)
Рассмотрим нестационарную генерацию второй гармоники в приближении заданного поля основного излучения; при этом примем бх = б2 = 0. Система (3.4.11) имеет в данном случае вид
dAjdz-{-u~l dA1/dt = 0; дА2/дг + и~1 dA2!dt= —ia2 Л? ехр (iAkz).
(3.4.12)
Решение первого уравнения (3.4.12) есть некоторая функция А (ц.), где
(х = t — z/ui (3.4.13)
3.4. Генерация гармоники в нестационарном режиме
183
— переменная, называемая локальным временем. Подставим Аг (ц) во второе уравнение (3.4.12) и перейдем от переменных z, t к переменным z, jx. Выполняя этот переход, учтем, что
дЛ2 (г, 0 дА2 (г, р.)
dz
dz
dA2
дА2 (z, p.) dfi dz
dp.
1 дА.
дА2 (г, О
dt
dz Ui дц dA2 (г, ц) дц
0[Х
dt
дц
В результате получаем с учетом (3.4.1) следующее дифференциальное уравнение для А2 (г, ц):
дА2/дг—удА2/дц = —гсг2 Л? (ц) ехр (iAkz).
(3.4.14)
Из (3.4.14) видно, что именно различие групповых скоростей Их и «2 (т- е. v =7^= 0) приводит к нестационарному характеру процесса преобразования во вторую гармонику. Если же v = 0, то (3.4.14) превращается фактически во второе уравнение системы (2.6.11). Иными словами, в данном случае справедливо квазистатическое приближение (в сочетании с приближением заданного поля основного излучения).
Дифференциальное уравнение для амплитуды спектра второй гармоники. При рассмотрении нестационарной генерации второй гармоники обычно применяют спектральный подход: вместо дифференциального уравнения для
амплитуд поля решают соответствующее уравнение для амплитуд спектра, а затем по амплитуде спектра находят амплитуду поля второй гармоники. Анализ процесса преобразования во вторую гармонику на основе рассмотрения частотных спектров позволяет наиболее четко выявить физику картины. Сверхкороткие импульсы характеризуются относительно широким частотным спектром. Напомним в связи с этим, что ширина Асо спектра связана с длительностью т импульса соотношением Асо ^ 1/т.
Осуществляя спектральный подход, представим амплитуду поля второй гармоники A2(z,\i) в виде интеграла
184
Гл. 3. Специальные вопросы генерации второй гармоники
Фурье:
оо
A;(z, |i) = J Ф, (z, Q) exp (t'Q|i) dQ. (3.4.15)
— oo
Здесь Ф2 (z, ?2) — амплитуда спектра второй гармоники (спектр есть | Ф2 (z, Q) |2), Q = со — 2(0!, сох — центральная частота основного излучения. Аналогично для амплитуды Лх (ц)
оо
Лх (ц) = j Фх (I) ехр (tgn) dt, (3.4.16)
— оо
где 5 = w' — сох (как и со, переменная со' — текущая частота). Подставляя (3.4.15) и (3.4.16) в (3.4.14), получаем
оо
J ("У~2 —tV ехР (^И1) dQ =
— оо
оо
= ~ia2 е'Л*г J j Фх (5) фх (?') e'<S+S') ^ <%’ (3.4.17)
— оо
(здесь = со" — сох). Учитывая, что вследствие большой ширины спектров наряду с удвоением частоты происходит также сложение частот, представим со' + со" = ю и, следовательно,
5'= Q-g. (3.4.18)
С учетом (3.4.18) перепишем (3.4.17)
оо
j ^dQ =
— оо
00
= — io2 еШгг JJ Фх (g) Фх (Q—5) ег°м. dtdQ (3.4.19)
—- оо
(при интегрировании по величину ? можно считать постоянной, так что d\' = dQ). Из (3.4.19) следует, что
(Ш,
дг
оо
-ШФ2 = — ш2 e-,Ata j Фх (5) Фх (Q—6) d\. (3.4.20)
3.4. Генерация гармоники в нестационарном режиме
185
Вводя функцию
Л2 (z, Q) = Ф2 (;г, Q) ехр (—ivQz) (3.4.21)
и обобщенную расстройку
Ф = Ak — vQ, (3.4.22)
преобразуем (3.4.20) к виду
оо
Г ф1(5)ф.(Q-Ddt
дг J
— оо
(3.4.23)
Здесь и в дальнейшем следует иметь в виду, что расстройка Ak рассматривается для центральной частоты сох спектра основного излучения.
Случай гауссовской формы импульса основного излучения; спектр второй гармоники. Предположим, что импульс основного излучения имеет гауссовскую форму:
А у (ц) — Л о ехр (—(д,2/тх). (3.4.24)
В этом случае получаем [используя (ЗЛ.21)!
оо
ф1(?) = -^- j* ЛхО^е-^ф^-
-Т^Нт1-)- <3-4-25)
Подставляя (3.4.25) в (3.4.23) и вводя обозначение
М = 02ЛоТ?/4я, (3.4.26)
находим [опять используя (3.1.21)1
dA2/dz--=— ШУ2л ехр (tcpz) ехр (—Q2Tx/8)/Ti. (3.4.27) Интегрируем (3.4.27) по z от нуля до /:
Л2 (/, Q) = —M\f2л ехр (—Q2Ti/8) [ ехр (г'ф/)—И/т^р.
(3.4.28)
Используя (3.4.21) и соотношение
[ ехр (гф/) — 11/ф = ехр (щ112) [ ехр (щ112) —
— ехр (—г'ф//2)]/ф = il ехр (г'ф//2) sine (ф//2), (3.4.29)
186
Гл. 3. Специальные вопросы генерации второй гармоники
получаем из (3.4.28) выражение для амплитуды спектра импульса второй гармоники:
Ф2(/, Q)= —iMl У2яехр(—Q2Ti/8 + i'vQ/) X
X ехр (tq>//2) sine (ф//2)/Тх. (3.4.30)
Таким образом, спектр второй гармоники на выходе кристалла может быть представлен в виде [с учетом (3.4.26),
(3.4.22)1
(3.4.31)
На рис. 3.20 сопоставляются графики функций ехр (—Q4[/4) (кривая 1), sine2 [ (Ak — vQ)l/2] (кривая 2) и 8я|Ф2|2/ (огЛоТх/)2 (кривая 3). Видно, что симметричный спектр основного излучения [см. (3.4.25)] при преобразовании во вторую гармонику искажается; при этом максимум спектра смещается по частоте. Для оценки этого смещения воспользуемся приближенным соотношением
