Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
118
Гл. 2. Генерация второй гармоники
Г ехр (Ш?) ^АиаТ dZ. (2.8.31)
J i+гг
В результате вместо (2.8.27) будем иметь
Аг(х, у, г) = ехр [ — 2 (1 — /т) (s2 +s,2)j X
1 -f-(T i
X
о
Апертурная функция. Введем обозначения:
v = 6Afe/2, v' = v + 4cts (2.8.32)
и перейдем в (2.8.31) от переменной интегрирования Z к переменной Т:
i ?( 1 -f~ д)
Г ехр (tAfeZ) 4йаГ ^ = — е‘Ш° Г ехр (iv'T) ^
J 1+iT 2 J 1+гТ
о —S(i —н)
(2.8.33)
Таким образом, в выражении для амплитуды второй гармоники выявляется так называемая апертурная функция
ё(1+ц)
H(v',al5,ji) = — Г -хр(- } с1Т. v 2я J 1+/Г
-1(1-ц)
(2.8.34)
Существенно, что эта функция получается также и в строгой теории.
С учетом (2.8.33) и (2.8.34) перепишем (2.8.31) в виде А (х, У, z) = 53^1* etAfez“ехр [-2 (1 -/т) (s* + s'2)] Я.
1 +(Т
(2.8.35)
Для вещественной амплитуды получаем отсюда следующее выражение:
<h(x, У, z)~\A2\= 1 р°1 &e~2(s2+s"l) \Н (v', a, ?, p.) |,
T
(2.8.36)
где | (1 -f ix)*1 зё 1/т. Учитывая, что |P0| ~ Aiq, AU = = 16PX (0)/cn (co)po, b = ?р§, перепишем (2.8.36):
at(x, У, z)~(/,1(0)ife/T)e-2 “’+•'*) |tf (v',a,?, ц)|. (2.8.37)
2.8. Генерация гармоники в гауссовском пучке
119
Отсюда находим плотность мощности гармоники в точке (х, у) плоскости IIZ:
где С — множитель, не существенный для дальнейшего рассмотрения.
Интегрируя (2.8.38) по поперечным координатам (иначе говоря, по s и s'), получаем мощность второй гармоники на плоскости П2:
Результат (2.8.39) получен методом Бойда—Клейнмана при рассмотрении поля второй гармоники в дальней зоне. Как уже отмечалось, для дальней зоны квазигеометричес-кий подход Бойда—Клейнмана должен согласовываться *' со строгим подходом, поскольку вдали от плоскости пере-тяжки гауссовский пучок может рассматриваться в рамках геометрической оптики (как сферическая волна). Следова--Т тельно, (2.8.39) можно интерпретировать как строгий результат. Если при этом учесть, что мощность светового пучка второй гармоники после выхода его из нелинейного кристалла не зависит от координаты г плоскости наблюдения [в этом легко убедиться, обратившись к (2.8.39)], то не-
- трудно понять, почему результат, выведенный методом Бойда—Клейнмана для дальней зоны, совпадает с получаемым при строгом подходе выражением для мощности второй гармоники на выходе нелинейного кристалла.
Если ввести функцию
S2 (х, у, z) = С (Рг (0) k/xf е-4 (**+ >'2) [ Я (v', а, ?, ц)|2,
(2.8.38)
Р2 = (Ро тО2 (” Г S2 (s)> У (s'), 2) dsds' =
— со
________ оо
00
I
e_4s! | Я(v', а, Б, [i) |2ds,
120
Гл. 2. Генерация второй гармоники
то результат (2.8.39) преобразуется к виду
Р2 = СР\ (0) klh (v, а, [г)/4я.
(2.8.41)
Заметим, что функция h определяется набором всех параметров, которые с физической точки зрения должны влиять на генерацию второй гармоники в сфокусированном пучке. Перечислим эти параметры: v = ЬШ2 (пропорционален волновой расстройке); а = (Уф (пропорционален углу анизотропии); % — параметр фокусировки; ц — относительное положение фокуса внутри кристалла. Ниже будем полагать,' что fi = 0; положение фокуса посередине кристалла оказывается оптимальным для преобразования во вторую гармонику.
Случай 90-градусного синхронизма. В этом случае, как известно, Р = 0 (и следовательно, а = 0, v' = v). Апертурная функция (2.8.34) принимает вид (для (х = 0)
#(v,0,i,0) = J- \^^-dT (2.8.42)
2л J 1+г7
-I
и, следовательно,
A (v, 0,1 0) =
4Б
ехр (ivT) 1 + гТ
dT
(2.8.43)
При I < 1 (слабая фокусировка) выражение (2.8.43) преобразуется к виду
h = -
f e*TdT -l
= sin2 (v|)/?v2 = I sine2 (Akl/2). (2.8.44)
Подставляя (2.8.44) в (2.8.41), получаем
P2 = CPi (0)/2 sine2 (Ш12)/4яр§. (2.8.45)
Таким образом,
Tip = (СКк)Рг (0)/2 sine2 (ДШ)/р§. (2.8.46)
2.8. Генерация гармоники в гауссовском пучке
121
Легко видеть, что результат (2.8.46) совпадает с результатом (2.8.19), полученным в приближении плоских волн (с пространственной модуляцией амплитуды функцией Гаус-
При ^» 1 (сильная фокусировка) выражение (2.8.43) принимает вид
На рис. 2.37 представлена зависимость h от Akl!2 вычисленная для разных ?. Кривая / получена для | 1 по
формуле (2.8.44), а кривые 2 и 3 — соответственно для ? = 10 и ? = 100 по формуле (2.8.47). Кривые нормированы так, чтобы при Afe = 0 функция h равнялась единице; поэтому на основании рисунка нельзя судить об абсолютных значениях h. Рисунок иллюстрирует возрастание с увеличением ? несимметричности функции h относительно изменения знака расстройки Ak. Можно видеть, что, например, при \ = 10 максимум функции h (а следовательно, и мощности Р2) достигается вовсе не при точном выполнении синхронизма для осевой части пучка, а при определенной волновой расстройке, при которой Akl/2 «—3. Таким образом, при фокусировке требуется для данного значения параметра ? подбирать оптимальную волновую расстройку Akom, лежащую в области отрицательных значений. Иначе говоря, надо специально поворачивать нелинейный кристалл от направления синхронизма на некоторый угол в сторону, отвечающую увеличению угла между оптической осью кристалла и направлением оси пучка.
