Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим основные соотношения, описывающие пространственную форму кругового гауссовского пучка (применительно к рис. 2.35)*);
ф = 2//гр0
(2.8.1)
[видно, что чем меньше радиус перетяжки (чем сильнее фокусировка), тем больше угол расходимости; k — волновой
*) Гауссовские пучки рассмотрены, например, в § 2.7 и 2.8 из [23]; см. также [21, 24].
2.S. Генерация гармоники в гауссовском пучке
111
вектор излучения в кристалле!;
Р2(г) = Ро + (г-го)2Ф .
(2.8.2)
p2(z) = (z — z0)R(z) ф2
(2.8.3)
При z —z0 левая часть (2.8.3) стремится к ро, а правая к нулю; следовательно, 1/R (z0) = 0 (в фокусе Ф волновой фронт есть плоскость, перпендикулярная к оси пучка). Величину
b = &ро = 2р0/ф (2.8.4)
называют конфокальным параметром. Это есть длина пря* моугольника, выделенного на рис. 2.35 штриховыми ли' ниями. Указанный прямоугольник представляет собой сече* ние цилиндра радиуса р0, называемого фокальным тятном»-Отношение
\ = ИЬ — ф//2р0 (2.8.5)
есть параметр фокусировки. При слабой фокусировке
(? 1) можно пренебречь кривизной фронта и рассматри-
вать генерацию второй гармоники в приближении плоских волн, пространственно модулированных функцией Гаусса.
112
Гл. 2. Генерация второй гармоники
Относительное положение фокуса Ф внутри кристалла определяется параметром
li = (I — 2 z0)ll. (2.8.6)
Если фокус находится в середине кристалла (z0 — 112), то {х = 0.
Выражение для комплексной амплитуды основного излучения, являющегося гауссовским пучком, имеет вид
Аг(х, у, 2) = Л1о (1 + /т)-1 ехр [ — (л:2+г/2)/р2(Н-гт)],
(2.8.7)
где
т = 2 (z — z0)/kpl = 2 (z — z0)/b = (z — z0)<p/p0.
(2.8.8)
Используя (2.8.8), а также (2.8.1)—(2.8.3), нетрудно убедиться в том, что
ехр
Х2 + У2 Р5 (1 +/т)
- ехр
Х2 + У'
Р2 (г) .
ехр
ik
х2 -(-1 2R(z) J
(2.8.9)
Первый экспоненциальный множитель в правой части (2.8.9) описывает зависимость вещественной амплитуды пучка от поперечных координат (функция Гаусса), а второй связан с кривизной волнового фронта (фаза зависит от поперечных координат).
В плоскости перетяжки (г = г0) ймеем т = 0. В этой плоскости
Аг (х, у, г0) = А10 ехр [— (х2 + г/2)/ро1. (2.8.10)
Отсюда видно, что
Аи = Аг (0, 0, 20). (2.8.11)
Таким образом, постоянная А1й в (2.8.7) есть амплитуда пучка в точке Ф (в фокусе).
Поскольку, как нетрудно убедиться,
|(1 + ft)~M = (1 + t2)-i/2 = р0/р (z), (2.8.12)
то согласно (2.8.7) и (2.8.9)
«1 (х, У, z) = [ Аг | = Ащ ехр [ — (х2 + у2)/р2 (z)\р0/р (z).
(2.8.13)
2.8. Генерация гармоники в гауссовском пучке
113
Используя (2.8.13) и (2.4.40), находим следующее выражение для плотности мощности излучения в произвольном сечении П2 пучка:
S1 (х, у, z)= {сп (<в)/8я) (p0/p(z))2 Л20 ехр [ —2 (х2+г/2)/р2 (z)].
Отсюда следует, что мощность излучения имеет вид
Видно, что мощность не зависит от координаты z поперечного сечения. В частности, на входе кристалла
Генерация второй гармоники при слабой фокусировке. Если ? < 1, тот <g 1; в этом случае можно положить аг (х, у, г) яг »/4ie ехр [— (*2+г/2)/р02] и рассматривать генерацию второй гармоники для плоской пространственно модулированной волны. Будем при этом пренебрегать ДАЭ. Используя в приближении заданного поля основного излучения (2.4.47), запишем с учетом (2.8.14)
Используя (2.8.16), получаем следующее выражение для эффективности преобразования по мощности:
г)р =(8п (2со)/с/г2 (со)) а\ Р Рх (0) sine2 (Л«/2)/(>§. (2.8.19)
Укороченные уравнения для генерации второй гармоники в сфокусированном гауссовском пучке в приближении заданного поля основного излучения. Если не ограничиваться частным случаем слабой фокусировки, то необходимо учитывать дифракцию. Это означает, что надо использовать укороченные уравнения со вторыми производными амплитуд по поперечным координатам. Будем исходить из системы уравнений (2.7.39). В приближении заданного поля основного излучения следует пренебречь слагаемым /стИГЛ 2 ехр (—iAkz) в первом уравнении системы (это
(2.8.14)
¦Рх= jj Sxdxdy = сп (а) А\0 р^/16. (2.8.15)
— со
Рг (0) - сп (и)Л fopo/16.
(2.8.16)
т
2
(2.8.17)
Отсюда следует, что
Р2 (/) = (ся (2со)/32) о2 /2 sinc2(AW/2) pg. (2.8.18)
114
Гл. 2. Генерация второй гармоники
слагаемое пропорционально oiA2 и, следовательно, является величиной второго порядка малости). В результате приходим к следующей системе укороченных уравнений:
(Ak — волновая расстройка для осевой части пучка). Первое уравнение в системе (2.8.20) называется параболическим', поэтому систему (2.8.20) принято называть параболическими укороченными уравнениями.
Нетрудно убедиться, что гауссовский пучок, описываемый соотношением (2.8.7), является решением параболического уравнения (см., например, §2.7 из [23])
Заметим, что сохранение гауссовской формы пучка основного излучения по мере распространения излучения по нелинейному кристаллу (и в частности, отражаемое соотношением (2.8.15) постоянство мощности излучения при изменении z-координаты поперечного сечения пучка) есть прямое следствие применения приближения заданного поля основного излучения.
Подставив (2.8.7) во второе уравнение системы (2.8.20), можно получить уравнение для амплитуды второй гармоники А 2 (х, у, г). При решении этого уравнения используют аппарат функций Грина [25]. Не будем рассматривать здесь указанный аппарат; вместо этого изложим наглядные рассуждения Бойда—Клейнмана [22], использующие в определенной мере геометрооптические представления и позволяющие тем не менее получить результат, согласующийся со строгой теорией. Назовем этот в известном смысле квазигеометрический метод получения амплитуды и мощности второй гармоники методом Бойда—Клейнмана.
