Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
rfo/2
Рг (/; II) = d0 pSj (0) /2 j* =
-ъ'/г+Ф
= d0 pSf (0) I2(d0— $1). (2.7.32)
Складывая результаты (2.7.30) — (2.7.32) и учитывая, что Sx (0)dl = Рг (0), получаем
Р2 (/) = р р\ (0) Р (1 — $l/3d0)ldl (2.7.33)
Отсюда находим [с учетом (2.7.21)]
8пп (2со) о п /2 /1 L
Лр =
cti2 (w) dl
L(T2pl(o)/^i_^. (2.7.34)
Напомним, что это соотношение получено для / ^ Lp.
При Lp I аналогичные рассуждения приводят к соотношению
_8я«(2ш) о м-------1\ (2.7.35)
р спЦт) Р2 2 ’\h 3 J
В случае оее-синхронизма без вывода приведем для Р3 > Pi выражения для выходной мощности второй гармоники:
а) при I <
8im (2ю) ( I I
p>(0)p!(0)(t¦
(2.7.36)
б) при / >
8яя (2м)
w = _ГТПТТ" (0) Р*(0) х
Зся2 (со) рх рг ‘ 1
ра
X
/ Рг Р
(2.7.37)
2.7. Генерация гармоники в пучке конечной апертуры
105
Заметим, что при 1= L^ мощность второй гармоники, определяемая соотношением (2.7.37), достигает предельного значения
р2 шах = 8т (2со) а1 Р° (°) Р\ (°)/Зся2 (®) Pi Р2, (2 ¦ 7.38)
величина которого не зависит от dо и I.
Учет диафрагменного апертурного эффекта в укороченных уравнениях (скалярный оое-синхронизм). Все выражения для укороченных уравнений, полученные до сих пор, основывались на предположении, что div Е = 0. Иначе говоря, в рассматривавшихся до сих пор укороченных уравнениях предполагалось, что угол анизотропии равен нулю, и тем самым не учитывался ДАЭ. Правда, рассмотренный выше геометрический метод позволяет учесть этот эффект в рамках прежних укороченных уравнений. Учет возможен, однако, лишь в случае, когда плотность мощности основного излучения на входе кристалла постоянна по апертуре пучка. Для последовательного рассмотрения ДАЭ геометрический метод недостаточен; необходимо уже в самих укороченных уравнениях учитывать различие направлений лучевого и волнового векторов необыкновенной волны в анизотропной среде. Для этого надо отказаться от предположения div Е = 0 и вместо приближенного соотношения (2.2.7 б) использовать , строгое соотношение (2.2.7 а):
rot rot Е = grad div Е — V2 Е.
В результате в укороченных уравнениях появятся дополнительные слагаемые. При скалярном оое-синхронизме появится дополнительное слагаемое fidAjdx в левой части второго уравнения системы (2.7.4). Полагая аг = о2 = 0, перепишем (2.7.4) с учетом угла анизотропии fi в следующем виде [19]:
1 I д/*Аг Аг
дг
дА,
дг
2ik \ дх2 дА,
ду2
1
дх
2iK \ дх2
+ iaxA\ Л2е~,Aftz = 0;
-Wja2yl^e‘Afe2 = 0.
дг А,
ду2
(2.7.39)
Оставаясь в рамках геометрооптического приближения, опустим в (2.7.39) члены со вторыми производными амплитуд по поперечным координатам. Кроме того, перейдем от
Гл. 2. Генерация второй гармоники
комплексных амплитуд All2 к вещественным а1/2 и будем полагать, что условие синхронизма выполняется точно. В результате получим следующую систему укороченных уравнений:
dajdz + аг = 0; dajdz -f fidcijdx — о.> а[
0.
(2.7.40)*)
Граничные условия
«1 (х, У, 0) = а10 (х, г/); а2 (х, у, 0) = 0. (2.7.41)
Исключив а± из (2.7.40), найдем
(2-7-42)
Отсюда следует, что
dajdz + oiai = f {х — pz, у), (2.7.43)
где функция f определяется амплитудой основного излучения на входе кристалла а10 (х, у). Действительно, при z = 0 соотношение (2.7.43) принимает вид <?a2/<?z|2=0 = f (х, у), а второе уравнение из (2.7.40)—вид <3a2/dz|z=0 = оФхй {х, у). Таким образом,
f (х, у) = (т2а?о (х, у). (2.7.44)
Уравнение (2.7.43) известно как уравнение Рикатти. С учетом (2.7.44) оно может быть записано в виде
dajdz + О! а\ {х, у, z) = a2 а\0 (х—pz, у).
(2.7.45)
Предположим, что граничное распределение поля основного излучения имеет вид
«ю (х, у) = а±1( 1 + а2х2) (2.7.46)
(амплитуда а1й в пределах апертуры пучка не зависит от у и на границе пучка по оси у резко обращается в нуль).
*) С точностью до слагаемого ^да^дх система (2.7.40) соответствует системе (2.3.1) при = 63 = 0 и ? = я/2. Условие ? — я/2 отвечает условию отсутствия второй гармоники на входе кристалла [см. (2.3.17)].
2.7. Генерация гармоники в пучке конечной апертуры
107
В этом случае решение уравнения (2.7.45), удовлетворяющее на входной грани кристалла условию а2 = 0, описывается выражением [19]
а2 (х, г) = {а2^ ch I + [(а2 — а2р2)'/2 — а4р2 х (х —
- pz) (а2 - а2р2)-*/2] Sh 1} {0l [I+а2(х- pz)2] [ch g +
+ (а2 — агР2)-'/2 shg]}-1, (2.7.47)
где о = K^i(T2«o; I = (ст2 — а2Р2)1/2 { arctg (ах) —
— arc tg [а (х — pz)]}/ap.
При Lp > L из (2.7.47) получаем
a2 (я, z) = a0 th [(z/L) (1 + aV)_1]/(l -f a?), (2.7.48)
т.ч e. приходим к решению для плоских волн с амплитудой основного излучения, модулированной в соответствии с (2.7.46), при условии отсутствия двулучепреломления
(Р = 0).
При р Ф 0 профили взаимодействующих волн по мере распространения по кристаллу изменяются. Если Lp<L, то из (2.7.47) следует, что
а2 (х, z) = (Vaia2a0/2)Lp {ах! (1 + а2*2) —
— (ах — zip1)/ [1 -f (ах — zip‘)2] -|- arctg (ах) —
— arctg (ах — zLp1)}. (2.7.49)
Изменение профиля волны в общем случае, когда Lp ~ L, иллюстрирует рис. 2.32. На рисунке штриховыми линиями показана относительная плотность мощности для основного излучения на выходе кристалла (S± = = [ах (х, 1)1а0]2, а непрерывными линиями — то же для второй гармоники (S2 = [а2 (х, 1)!а0]~). Графики построены для Lp = 0,5L2; при этом отношение //Lp принималось равным 0,5; 1,0; 5,0 (кривые 1, 2, 3 соответственно). Из рисунка видно, что по мере увеличения I наблюдается смещение максимума плотности мощности второй гармоники в направлении оси х и одновременно сдвиг максимума плотности основного излучения в противоположном направлении. Это связано с нелинейностью режима генерации второй гармоники (истощением основного излучения в области х > 0). По мере распространения по кристаллу ширина пучка второй гармоники увеличивается, тогда как ширина пучка основной частоты уменьшается.
