Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
v2 (г) « 1. (2.4.30а)
В данном случае можно использовать приближенное рассмотрение генерации второй гармоники, полагая, что для всех z амплитуда поля основного излучения постоянна (при 6 = 0):
Vi (2) = vi (0) = Voifq2. (2.4.306)
Это есть так называемое приближение заданного поля основного излучения. Соотношение (2.4.20) принимает в рассматриваемом приближении следующий вид:
v2(z) — eiUz sine (Akz/2). (2.4.31)
Чтобы получить (2.4.31), надо в соответствии с (2.4.30) упростить уравнение (2.4.16):
dv2/dz = ± aiUVl — (Aii>2)2. (2.4.32)
Нетрудно убедиться, что (2.4.31) есть решение уравнения
(2.4.32), удовлетворяющее условию v2 (0) = 0.
Соотношение (2.4.31) совпадает с (2.4.26). Это совпадение не случайно, так как при Ах 1 амплитуда волны второй гармоники мала при всех z [см. (2.4.25) и (2.4.27)], что согласуется с приближением заданного поля основного излучения.
При точном выполнении синхронизма имеем sine (Akz/2)~ = 1. В этом случае выражение (2.4.31) преобразуется к виду
V, (?) = О! Uz. (2.4.33)
2.4. Решение уравнений прн волновой расстройке
6?
Заметим, что амплитуда волны основной частоты в приближении заданного поля постоянна с точностью до членов второго порядка малости по a\Uz. Действительно, при Ak = 0 имеем
Vi (г) VvJvi = Vl—= 1 — vl (z)/2 = 1 — (at t/z)2/2.
(2.4.34)
Учет уменьшения амплитуды основной волны за счет перекачки энергии во вторую гармонику становится необходимым при рассмотрении внутрирезонаторной генерации второй гармоники, особенно в непрерывном режиме генерации.
В приближении заданного поля основного излучения следует сохранить в системе укороченных уравнений (2.2.22) только второе уравнение; при этом амплитуду Аг надо рассматривать как постоянную величину. Пренебрегая поглощением излучения, получаем в рассматриваемом приближении следующее дифференциальное уравнение для комплексной амплитуды второй гармоники:
dA$/dz = —ia2 ехр (iAkz). (2.4.35)
Выполняя интегрирование по длине г нелинейного кристалла и учитывая, то А 2 (0) = 0, находим отсюда
г
А2 (z) = —ia2 J ехр (iAkz') dz',
о
или
А2 (г) = а2 А\ [1 — ехр (i Akz)]/Ak,
или
А2 (г)= —га2 А1 г ехр (iAkz/2) sine (А/гг/2). (2.4.35а;
Переходя от комплексных амплитуд к вещественным, получ аем
а2 (г) = | А2 (г) | = a2 а\ sine (Akz/2).
Этот результат совпадает, как легко видеть, с (2.4.31), если учесть, что ага\ = U% [см. (2.4.2) при а2 (0) = 0].
Плотность мощности второй гармоники. Коэффициент преобразования основного излучения во вторую гармонику. Вектор плотности мощности излучения есть вектор Умова — Пойнтинга. Для плоской монохроматической волны с частотой са и волновым вектором к вектор плотности мощности излучения S описывается известным соотношением
S = (с2/4 яоо) (Е х (k х Е)).
3*
Гл. 2. Генерация второй гармоники
Двойное векторное произведение (Е X (k X Е)) можно представить в виде
(Е X (к X Е)) = кЕ2 — Е (кЕ). (2.4.36)
Будем полагать, что
кЕ = 0. (2.4.37)* >
Из (2.4.36) и (2.4.37) следует, что направление вектора S совпадает с направлением волнового вектора к. Плотность мощности излучения описывается в данном случае выражением
5 = спЕ2/4л, (2.4.38)
гдеп — показатель преломления на частоте со.
Используя (1.4.1) и (2.2.24), преобразуем (2.4.38) к виду
S = (сп/4л) а2 (z) cos2 (соt — kz ср). (2.4.39)
Полагая, как обычно, что амплитуда a (z) медленно меняется с расстоянием z, и усредняя квадрат косинуса, получаем экспериментально измеряемую плотность мощности излучения
5 = спа2 (z) / 8я, (2.4.40)
Исходя из (2.4.40), представим плотность мощности второй гармоники на выходе нелинейной среды (при z— Г)
S2 (/) = (сп (2со)/8я) al (/) (2.4.41)
и плотность мощности основного излучения на входе среды
5, (0) = (сп (со)/8я)а! (0). (2.4.42)
Отношение
г1 = S2 (t)!S1 (0) (2.4.43)
есть коэффициент преобразования основного излучения во вторую гармонику (по плотности мощности). Его называют также эффективностью генерации второй гармоники.
Предположим, что на входе нелинейной среды вторая гармоника отсутствует. В приближении заданного поля основного излучения при точном выполнении условия син-
*) Обсудим это предположение позднее. Здесь же заметим лишь, что оно соответствует условию div Е = 0, которое было положено в основу вывода системы укороченных уравнений в § 2.2.
2.4. Решение уравнений при волновой расстройке
хронизма можно воспользоваться результатом (2.4.33), который перепишем в виде
(г) = (Х2 а? (0) z. (2.4.44)*)
Подставляя (2.4.44) в (2.4.41), находим
S2 (I) = (сп(2со)/8 я) (0) /2. (2.4.45)
Из (2.4.45) и (2.4.42) получаем
S2 (/) = (8 яп(2со)/сп2(со)) [ff2Sx (0) Л2. (2.4.46)
Это соотношение известно как формула Клейнмана [13,14]. Оно используется для оценки максимально возможной эффективности генерации второй гармоники (в рамках приближения плоских волн).
При наличии волновой расстройки воспользуемся вместо
(2.4.33) результатом (2.4.31). В этом случае получаем следующие выражения для выходной плотности мощности и эффективности генерации второй гармоники:
S2 (/) = (8лп (2со)/сп2 (со)) [а2 Sx (0) I sine (Дkl/2)]2;
