Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
u2du2ldl= ± <h Yul (Ц*—и‘) — С*
(2.3.26)
dy/dx= ± 2 У у (1 —y2) — C1.
(2.3.27)
Таким образом,
е(х)
(2.3.28)
Пусть уг, у2, уз — корни уравнения
у (1 - уу - = 0.
(2.3.29)
У(y—yi) (у—У*) [у—Уз)
dy
х (х)
= ±
УУз — Уг
2.4. Решение уравнений при иолновой расстройке
59
Учет поглощения. Как уже отмечалось, при выполнении
(2.3.3) учет линейных потерь может быть произведен в окончательных выражениях посредством замены переменных
(2.3.4). Так, решение (2.3.23) примет вид
cl2(z)
(0)е~6г th
Уа1 а2
(2.3.32)
Описываемая выражением (2.3.32) зависимость а2 (г) не является монотонной функцией расстояния г. Максимум амплитуды второй гармоники реализуется на расстоянии zmax> определяемом из условия dajdz — 0. Из (2.3.32) следует, что Zmax является решением трансцендентного уравнения
sh
[у V" CTi ст2 tZi (0) (1 -
i—б г
= -j- Voi <*2 <h (0) е_6г.
(2.3.33)
При 8z 1 это уравнение упрощается:
sh (2]Лт1(7га1 (0)z) = 2Yохогах (0)/б,
откуда следует
Zmax = (О)]-1 Arsh (2Kwi (0)/б). (2.3.34)
Если есть дисперсия поглощения (бх ф 62), то систему
(2.3.5) можно решить только численным интегрированием с применением ЭВМ.
2.4. РЕШЕНИЕ УКОРОЧЕННЫХ УРАВНЕНИИ ПРИ НАЛИЧИИ ВОЛНОВОЙ РАССТРОЙКИ
Интегралы системы укороченных уравнений при наличии волновой расстройки в отсутствие затухания. Полагая = б2 = 0, преобразуем систему укороченных уравнений (2.2.28) к виду
(2.4.1)
60
Гл. 2. Генерация второй гармоники
Первые два уравнения системы (2.4.1) совпадают с первыми двумя уравнениями системы (2.3.5). Поэтому выражение для первого интеграла системы (2.4.1) аналогично выражению (2.3.15, а):
(o-i/oi)ai (z) -f d\ (z) = (02/01) а\ (0) + а2 (0) = U2. (2.4.2)
Чтобы получить второй интеграл, проделаем над системой
(2.4.1) такие же действия, какие выполнялись ранее над системой (2.3.5). С помощью (2.4.2) исключим аг (г) из
(2.4.1); получим
da2/dz = o1 {U'2—a\) sin1?; j (2 4 3)
dW/dz ^Ak + ^/aJiU*-3a22) cos4. )
Отсюда находим
____d co- Y (U2 — 3a|) cos?+ a2 Ak/Oj (2.4.4)
da2 a2 (t/2—a%)
Нетрудно убедиться, что уравнение (2.4.4) имеет решение cos W = 1C — {am/2 <n)]/a2 (U2 — al), (2.4.5)
где С' — постоянная интегрирования.
Используем следующие обозначения:
Ах = Л/г/2сi-JJ-, о1>2 (г) = а1Л (z)!U;
Са = C4U3. (2.4.6)
Величину Aj называют приведенной расстройкой¦ В новых обозначениях результата уравнение (2.4.5) принимает вид
cos W = (С2 - A1vl)/v.2 (1 - vl). (2.4.7)
Используя (2.4.7), можно выразить постоянную Са через граничные значения у2 (0), ? (0) и приведенную расстройку A2:
С.2 = v2 (0) [1 — vl (0)1 cos ? (0) + Ajol (0). (2.4.8)
Итак, интегралы рассматриваемой системы укороченных уравнений можно представить с учетом (2.4.6) в виде
(a2/ai) v\ (2) + vI (z) = (aj/aJ v\ (0) + v\ (0) = 1;
Щ (z) [ 1 — v\ (z)] cos ? (z) -f Ax v\ (z) = = t>2 (0) [ 1 — v\ (0)[ cos ? (0) + Aj v\ (0).
(2.4.9a)
(2.4.96)
2.4. Решение урабйений при волновой расстройке
61
Фазовый портрет процесса генерации второй гармоники при наличии волновой расстройки. В качестве полярных координат фазовой плоскости используются координаты уа н ?. Семейство фазовых траекторий описывается уравнением (2.4.7); при этом Са определяется граничными условиями и приведенной расстройкой Аг в соответствии с (2.4.8).
Фазовый портрет рассматриваемого процесса для некоторого фиксированного значения приведенной расстройки Ах представлен на рис. 2.11 (0 < Ах < 1). Толстыми линиями показана сепаратриса. Она состоит из ограничивающей окружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице, а также отрезка вертикальной прямой AxAz', точки Ах и А 2 являются седловыми точками. Прямая АХА2 пересекает ось v2 cos ? в точке Oj; координаты этой точки: и2 = Дх, ? = 0. Фазовые центры Сх и Са имеют соответственно координаты
Результат (2.4.10) следует из (2.4.3), если учесть (2.4.6) и положить dv2!dz = 0 и d'F/dz =0 (напомним, что фазовым центрам отвечают пространственно стационарные нелинейные волны).
Предположим, что v2 (0) = 1, ? (0) = 0 (граничные
условия соответствуют точке В на рисунке). Из (2.4.9 б) следует, что
Второй множитель в левой части (2.4.11) вблизи точки В не может быть равен нулю; следовательно,
Это есть уравнение окружности единичного радиуса с центром в О.
Предположим далее, что v2 (0) = Аь ? (0) = 0 (граничные условия соответствуют точке Ог). Из (2.4.9 б) следует, что и в этом случае справедливо соотношение (2.4.11). Однако теперь не равен нулю первый множитель в левой
^2 (2) [ 1 — v\ (z)l cos ? (z) + АхУ2 (2) = Aj,
или
[1 — v\ (z)] [v2 (z) cos ? (z) — AJ = 0. (2.4.11)
vl (z) = 1.
62
Гл. 2. Генерация второй гармоники
части (2.4.11). Таким образом,
(z) cosY (z) = Alf (2.4.12)
Это есть уравнение вертикальной прямой, проходящей через Ох.
Сравним рисунки 2.11 и 2.8. В отсутствие волновой расстройки' фазовый портрет симметричен относительно осей v2 cos f ии2 sin *Р. При наличии расстройки симметрия фазового портрета относительно оси у2 sin ? исчезает. Теперь прямолинейный участок сепаратрисы уже не совпадает с осью v2 sin 4F, а отстоит от нее на расстояние | Ах | (вправо или влево); при этом ограничивающая окружность остается неизменной.
