Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Во-первых, движение изображающей точки по участку ОАх сепаратрисы соответствует наиболее быстрому пространственному накоплению эффекта генерации второй гармоники. В этом случае sin ? = 1 и, как можно видеть из второго уравнения (2.3.5), производная dujd\ положительна и максимальна. Дополнительно заметим, что для попадания на участок ОАх сепаратрисы не обязательно выполнение условия «2 (0) = 0; достаточно, чтобы выполнялось условие ? (0) = л/2. Последнее обстоятельство практически важно при генерации второй гармоники в двух последовательно расположенных нелинейных кристаллах. Условие их (0) = 0 выполняется на входе первого, но не выполняется на входе второго кристалла. В этом случае можно обеспечить выполнение на входе второго кристалла условия ? (0) = л/2, подбирая фазы в промежутке между кристаллами.
Во-вторых, при движении по участку ОАх сепаратрисы попадание в седловую точку Ах практически невозможно. Для этого потребовалась бы, строго говоря, бесконечно длинная нелинейная непоглощающая среда. Иными словами, изображающая точка могла бы придти в точку Ах лишь при ? -> оо. Можно сказать, что чем ближе к Аг оказывается
56
Гл. 2. Генерация второй гармоники
Рис. 2.9
движущаяся по сепаратрисе 0АГ изображающая точка, тем меньше становится ее скорость движения.
В-третьих, в действительности движение изображающей точки строго по сепаратрисе 0АХ не реализуется в силу неустойчивости. Различные случайные факторы приводят к тому, что изображающая точка сбивается с вертикальной прямой cos ? = 0 на одну из близко расположенных к этой прямой замкнутых фазовых траекторий; см. штриховые траектории на рис. 2.9, а. Попаданию изображающей точки на замкнутую траекторию способствует также то, что амплитуда второй гармоники на поверхности нелинейного кристалла практически никогда не равна нулю. В результате будут наблюдаться пульсации амплитуд и2 и uv На рис. 2.9, б показаны эти пульсации, соответствующие штриховой траектории, проведенной на рис. 2.9, а. Заметим, что изображающая точка быстро проходит участки фазовой траектории вблизи точек О и Б и медленно — вблизи Ах и А2-Относительно длинные заштрихованные участки вдоль оси ? на рис. 2.9, б примерно соответствуют заштрихованным участкам фазовой плоскости на рис. 2.9, а.
Случай отсутствия второй гармоники на входе нелинейной среды. Рассмотрим идеальную ситуацию: изображающая точка движется по участку 0АХ сепаратрисы. В данном случае ? = л/2 и, следовательно, sin ? = 1. Первое уравнение (2.3.9) принимает, таким образом, вид
dujdl = at (U2 — ul). (2.3.21)
Решение уравнения (2.3.21), удовлетворяющее граничному
2.3. Решение уравнений при точном синхронизме
57
Рис. 2.10
условию «2 (0) = 0, можно выразить через гиперболический тангенс *>:
ы2 (I) = U th (aiUl). (2.3.22)
Поскольку U — Ui (0)Кa2/cfi, то перепишем (2.3.22) в виде
(2.3.23)
(Ю = «1 (°) К O2/O1 th (V <?i сг2(0) Е).
Используя (2.3.15 а), находим отсюда выражение для амплитуды основной волны Ui (s):
«1 (?) = «1 (0)/ch (Кa2 % (0) ?).
(2.3.24)
Результаты (2.3.23) и (2.3.24) показаны на рис. 2.10. Эффективная перекачка мощности основного излучения в мощность второй гармоники происходит на длине порядка
L = [КаГ<^М0)]-\ (2.3.25)
что на практике составляет несколько сантиметров. В рассматриваемом случае процесс перекачки мощности во вторую гармонику необратим-, строго говоря, для его завершения надо, чтобы ? оо. Правда, уже на пути в несколько длин L имеет место практически полная перекачка мощности.
Необратимый характер процесса перекачки мощности во вторую гармонику предполагает движение изображающей точки точно по сепаратрисе ОАх. Как отмечалось, в действительности точка не удерживается на сепаратрисе, а сби-
*) Напомним: гиперболический тангенс th (ех—е *)/(е*-Ье *); й th xldx— l/ch2 ch x = (e* + e-*)/2 (гиперболический косинус),
58
Гл. 2. Генерация второй гармоники
вается на замкнутую фазовую траекторию. В результате характер процесса перекачки мощности качественно меняется — процесс становится обратимым (амплитуды и2 и щ начинают пульсировать; см. рис. 2.9, б). Зависимости, показанные на рис. 2.10, приблизительно описывают изображенный на рис. 2.9, б процесс пульсации амплитуд вблизи точек О и Ог.
Общий случай. Переходя к рассмотрению общего случая, отвечающего произвольным граничным условиям, подставим (2.3.12) в первое уравнение (2.3.9); получим [8]
[знаки плюс или минус выбираются в соответствии со знаком синуса в (2.3.9)]. Введем обозначения: у = (u2 /UY, х = в1 U%, Сг = С2/Us. В результате соотношение (2.3.26) преобразуется к виду
Нетрудно убедиться, что для 0 < Сх < 4/27 все корни вещественны и положительны. Полагая, что указанные неравенства выполнены, причем ух < у2 < у3, перепишем (2.3.28) в виде
где т — (у — i/i)/(у2 — (/,); / = (Уг — Ул)!(Уъ — У])- Определяемая соотношением (2.3.30) функция «§ (|) выражается через эллиптическую функцию Якоби — эллиптический синус (см. [12]):
«1 (D/U* = Ух + (г/а — Уд sn2 [иУу3 — ух (g + go)l, (2.3.31)
где Ео определяется граничными условиями. В частном случае “а (0) = 0 имеем ?0 = 0, С = 0 (и, следовательно, ух = 0, у2 = у3= — 1), U =^«1^(0) Л/oJoi, в результате приходим к (2.3.23).
