Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дмитриев В.Г. -> "Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света" -> 16

Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.

Дмитриев В.Г., Тарасов Л.В. Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света — М.: Радио и связь, 1982. — 352 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayanelineynayaoptika1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 111 >> Следующая

Нетрудно убедиться, что уравнение (2.3.11) имеет решение
соз ? = С!иг (U2 — и\), (2.3.12)
где С — постоянная интегрирования. С учетом (2.3.7) перепишем (2.3.12) следующим образом «'
cos ? = Co^o^uiu^. (2.3.13)
Используя (2.3.13), выразим постоянную С через граничные значения амплитуд и фазы:
С = (a2/cTi) и\ (0) ы2 (0) cos ? (0). (2.3.14)
Собирая полученные результаты, запишем выражения для первого и второго интегралов системы (2.3.5):
(2.3.9)
(a2/aj) и{ (g) + и\ (g) = (a2/a0 и\ (0) + и\ (0) = [/2,
(2.3.15а)
и\ (g) щ. © cos ? (g) = и\ (0) и.2 (0) cos ? (0). (2.3.156)
Фазовый портрет процесса генерации второй гармоники при точном соблюдении условия фазового синхронизма.
Рассмотрим фазовую плоскость в полярных координатах «2, ?; в качестве прямоугольных декартовых координат здесь выступают «2 cos ? и и2 sin ?. В точке ? нелинейной среды (на расстоянии г (g) от входной плоскости) амплитуда второй гармоники есть «2 (g), а обобщенная фаза есть ?(g). Этим двум параметрам отвечает изображаюищя точка на фазовой плоскости (рис. 2.7). По мере распространения взаимодействующих световых волн по нелинейной среде (по мере увеличения g) изображающая точка перемеща-
2.3. Решение уравнений при точном синхронизме
53
ется по фазовой плоскости, описывая кривую, называемую фазовой траекторией. В зависимости от граничных условий (в зависимости от значений «2 (0) и ? (0) на входе среды) изображающая точка описывает ту или иную траекторию. Совокупность фазовых траекторий образует фазовый портрет процесса.
На рис. 2.8 показан фазовый портрет процесса генерации второй гармоники при точном соблюдении синхронизма для полубесконечной нелинейной непоглощающей среды*> в приближении плоских волн. Проанализируем этот фазовый портрет [7].
Предположим, что граничные условия соответствуют точке О (м2 (0) = 0); это означает, что на входе нелинейной среды вторая гармоника отсутствует. Согласно (2.3.15а) имеем «1 (0) = U V aja2. Из (2.3.156) видно, что в рассматриваемом случае
и\ (?) и2 (I) cos ? (I) = 0. (2.3.16)
Амплитуды и «2 вблизи точки О не могут быть равны нулю [«!(0) максимальна; «2 равна нулю только в точке О фазовой плоскости]; поэтому из (2.3.16) следует что фазо-
*) Как уже отмечалось, в'непоглощающей среде и = а и | = г; будем, однако, использовать обозначения и и ?.
54
Гл. 2. Генерация второй гармоники
вая траектория, проходящая через точку О, описывается уравнением
cos ? (?) = 0. (2.3.17)
Это есть отрезок прямой АХА2 на рис. 2.8. Заметим, что концам отрезка (точкам Аг и Л2) отвечает предельная ситуация, когда «2 = (У и, следовательно [согласно (2.3.15а)], их = 0.
Предположим, что граничные условия соответствуют точке В: и2 (0)=(У; ?=0 [из (2.3.15а) следует, что (0)=0]. Это означает, что на входе нелинейной среды есть только вторая гармоника. Ясно, что и в данном случае выполняется соотношение (2.3.16). При этом ни и2, ни cos ? не могут быть равны нулю; следовательно, их (?) = 0 или с учетом (2.3.15а)
Ui(l)=U. (2.3.18)
Соотношение (2.3.18) описывает окружность радиуса U, проходящую через точку В.
Таким образом, выявлены две фазовые траектории — отрезок прямой и окружность. На рис. 2.8 они показаны, толстыми линиями.
Система (2.3.9) допускает стационарное (в пространственном смысле) решение. Если положить du2ld\ = 0 и d?/d? = = 0, то получим
sin ? = 0; «2 = UIV3. (2.3.19)
На фазовой плоскости этому решению отвечают две точки:
ы2 = ШУ3; ? = 0 и «а = U/УЗ; ? = я. На рис. 2.8
они обозначены как точки С. Их называют фазовыми цент-
рами.
Если на входе нелинейной среды вторая гармоника оказывается в точке С, то она будет оставаться в этой точке и в дальнейшем. В этом случае амплитуды их и «2, а также фаза ? постоянны подлине нелинейной среды *>. Из (2.3.19) и (2.3.15а) следует, что
и21и1^Уа2/2а1. (2.3.20)
*) Это пространственно стационарные нелинейные волны. Такие волны характерны для космической газодинамики, а также для гемодинамики (динамики крови в сосудах). Часто стационарные волны характеризуются стационарным профилем, распространяющимся в нелинейной среде без изменения (солитонные волны, или солитоны).
2.3. Решение уравнений при точном синхронизме
55
! На рис. 2.8 показаны тонкими линиями фазовые траектории, обходящие соответствующий центр; они представляют собой замкнутые траектории — см. кривые./, 2, 3 на рисунке. Этим фазовым траекториям отвечают пространственные пульсации как амплитуды и2, так и амплитуды их. С увеличением номера траектории указанные пульсации становятся более глубокими.
Показанные толстыми линиями фазовые траектории на рис. 2.8 выделяют (разделяют) области фазовой плоскости с разными центрами. Совокупность таких линий называют сепаратрисой (разграничивающей, фазовой траекторией). Точки Ах и А2 сепаратрисы называют седловыми точками.
Замечания к фазовому портрету. Пусть иа (0) = 0. По мере распространения по нелинейной среде амплитуда второй гармоники будет расти, приближаясь к значению (У; при этом изображающая точка будет двигаться по вертикальной прямой cos ? (?) = 0 от точки О к точке Ах (иначе говоря, изображающая точка будет двигаться по участку О Ах сепаратрисы). В связи с этим сделаем три замечания.
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed