Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
*) Здесь рассмотрена наиболее простая (одномерная) ситуация. Вывод укороченных уравнений в более общем случае дан в [7, 8].
**) Строго говоря, это справедливо лишь для изотропной среды. Мы вернемся к этому вопросу позднее.
Im е Re е
(2.2.5)
и слабонелинейной'-
(Я ^ Re %) -С Re а/Е.
(2.2.6)
rot rot Е = grad div Е — V2E. (2.2.7а)
rot rot E = — V2E.
(2.2.76)
оператора L:
(2.2.8)
42
Гл. 2. Генерация второй гармоники
С учетом (2.2.2.) и (2.2.8) можно переписать волновое урав* нение (2.2.1) в виде
' Е Н - —— (в : Е) =
дг2 с2 о/2
=------Т X : (ei ei (2) ехР I* (2cof—2kz)] +
cz ot*
+ 2ex e2 (z) Л2(г) exp [/©#—i (Д—k) z] +k. c.}. (2.2.9/
«Вынуждающая сила» в правой части уравнения (2.2.9) содержит, как и поле Е, четыре слагаемых—две гармоники на частоте со и две гармоники на частоте 2со. Поскольку левая часть уравнения (2.2.9) линейна по полю, то (2.2.9) можно разбить на четыре уравнения — отдельно для каждой гармоники. Выпишем два из них. Первое содержит основную гармонику поляризации и основную гармонику поля световой волны:
1 ^ д ' 1 д еЛ ех (z) exp [t (a>t—kz)] =
2 V dz2 с2 dfl = — X : e! e2 А*1 (2) A (Z) exp [/ tat—i (K~k) г].
Сi ot2
(2.2.10)
Второе содержит вторую гармонику поляризации и вторую гармонику поля световой волны:
1" е:)62 Л (2) ехр [i’ =
= — %: txtx А\ {z) ехр [i (2a>t—2kz)]. (2.2.11)
К этим уравнениям можно добавить еще два — уравнения, соответствующие комплексно-сопряженным слагаемым в правой части (2.2.9).
После Lвыполнения дифференцирования уравнения
(2.2.10) и (2.2.11) принимают соответственно вид
Al + 2ik -\-№ Ах—— Ах е ех ехр (г'соt—ikz) =
dz2 dz с2
= (4лсо2/с2) % : ei е2 А\ Аг ехр (Ш—i (К—k) г]; (2.2.12)
2.2. Укороченные уравнения в приближении плоских волн
43
л\+2 --~А,г:\х
\ dz2 dz с2
X е2 exp (i2a)t—iKz) = (8ясо2/с2) X : ei ei "4i X
X exp (г'2со/—i2kz). (2.2.13
Учитывая медленность изменения амплитуд, будем полагать, что выполняются неравенства
jfii ; -^2- «2/С-^2. . (2.2.14)
dz2 dz dz2 dz
Исходя из (2.2.14) пренебрежем слагаемыми d2A1/dz2 и d?AJdz2 в уравнениях для амплитуд. Кроме того, учтем, что
k2 е2 = (о2/с2) Re е (со): ei; 1 (2 2 15)
/С2 е2 = (4со2/с2) Re е (2со) : е2. J
[Эти соотношения эквивалентны соотношениям (2.2.3).]
Наконец разделим правую и левую части уравнения (2.2.12) на exp (mt— ikz), а уравнения (2.2.13) — на exp (i2a>t —
— iKz). В результате уравнения (2.2.12) и (2.2.13) преобразуются к виду:
2ki dAl —Л Ime (со) е2 =
dz с2 1
^ (4ясо2/с2) % (со): е, е2 А\ А2 exp ( — iAkz); (2.2.16)
2Щ _|_ i-^- А2 Im е (2со): j е2 =
= (8лсо2/с2) х (2со): ех е2 Aj exp (iAkz). (2.2.17)
Умножив правую и левую части уравнения (2.2.16) на t-j2iK, а уравнения (2.2.17) на е2/2//С, получим [с учетом (2.2.3)]
dAjdz + [k е: (Im e (со) : e^/2?г2 (со)] A± =
= —2лг [6 ex (x (ю): е-г)/«2 («>)] A\ A% exp (—iAkz);
(2.2.18)
dA2/dz+ [/( e2 (Im e (2co): е2)/2/г2 (2co)] Л2 =
“ — m‘ [Кe2 (X (2co): ex е^/я2 (2co)J Лf exp (iAkz), (2.2.19)
44
Гл. 2. Генерация второй гармоники
Введем обозначения*>:
61 = k ех (Im е (со): е1)/2п2 (со);
62 = К е2 (Im е (2со): е2)/2п2 (2со); J (2.2.20)
а1= 2п6 ех (х (о): ех е,)//г2 (со); а2 = я/С е2 (•/ (2со): eL е^/п2 (2со).
Коэффициенты Sj и б3 называют коэффициентами линейного поглощения, а и а2 — коэффициентами нелинейной связи. Итак, получена следующая система укороченных уравнений для комплексных амплитуд Ах (г) и А2 (z) [7, 8]:
(2.2.21)
dAjdz + А1 = —iaL А* Аг ехр (—iAkz); dA2/dz + 8, А2 = —ia2 А\ ехр (iAkz).
(2.2.22)
Эта система уравнений должна быть дополнена граничными условиями:
-4l (2)1г--= о — А10; A, (z) |2=о = Ао0. (2.2.23)
Система укороченных уравнений для вещественных амплитуд и обобщенной фазы. Перейдем от комплексных амплитуд А1 (z) и А2 (z) к вещественным амплитудам ах (z) и а2 (z) и фазам ф2 (г) и ф2 (г):
Ai,2 (z) = |Л,2 (2)|ехр щ1<2 (2) = аЪ2 (2) ехр i<p1>2 (z).
(2.2.24)
Подставим (2.2.24) в (2.2.22) и затем разделим правую и левую части первого уравнения на ехр щъ а второго — на ехр г'ф2, получим
<iq>i
-ia1
А =
dz dz
¦ i Oi % a2 exp [ — i (2фх— ф2 + Akz)\, ,
~-+ia2-^- + b2 a2 = dz dz
= —ia2 a\ exp [t (2фх— ф2 + Д&г)].
(2.2.25)
*) Напомним, что используется условно-векторная форма записи:
(Ime :e!)i = S (х : еае2)г = S S Xijm е це2т-
I I щ
2.2. Укороченные уравнения в приближении плоских волн
45
Величину
2q>i — <ра + A kz = ? (2.2.26)
называют обобщенной фазой. Воспользовавшись соотношением ехр (± t'?) = cos ? ± i sin ?, перепишем (2.2.25) в виде
dz
= — Шх
бх Ах + а1 «X а2 sin ?
dz
da* . ft -г- + б2 а%-dz
¦ + ах а2 cos ?
- о2 а\ sin ? =
Ш,
dz
+
— cos ?
а2
(2.2.27)
Разделяя вещественную и мнимую части уравнений и учитывая при этом, что 2 dqjdz — d<p2/dz = dxlf!dz — А/г, получаем из (2.2.27) систему укороченных уравнений для вещественных амплитуд <2х (г) и а2 (г) и обобщенной фазы ? (г):
dajdz + бх % + стх а2 sin ? = 0;
dajdz -f б2 а2 — а2 а\ sin ? = 0;
dW/dz—А& + (2ах a-i—cr2 а?/а2) cos ? = 0.
(2.2.28)
Система уравнений (2.2.28) справедлива для скалярного оое-син-хронизма. Как уже отмечалось, при других видах синхронизма надо рассматривать на частоте ш не одну, а две световых волны. Обозначим вещественные амплитуды и фазы этих волн через а^1*, ф*,1’ и а(х2), <Pi2)* Пусть векторы поляризации и волновые векторы волн: eV’. ki и ei2', k2, а показатели преломления: nt (со) и л2 (со). В данном случае вместо двух коэффициентов линейного поглощения и двух коэффициентов нелинейной связи имеем три коэффициента поглощения и три коэффициента связи:
